一、三角形的面積和周長(zhǎng)

1、三角形

在同一平面內(nèi)，且不在同一條直線(xiàn)上的三條線(xiàn)段，首尾順次相接所得的封閉的內(nèi)角和為180度的幾何圖形叫做三角形，符號(hào)為“$△$”。組成三角形的三條線(xiàn)段叫做三角形的三條邊，每?jī)蓷l邊的交點(diǎn)叫做頂點(diǎn)，組成的角叫做三角形的內(nèi)角。

2、三角形的三邊關(guān)系

三角形任意兩條邊的和大于第三邊，任意兩邊的差小于第三邊。

3、三角形的周長(zhǎng)

三角形周長(zhǎng)是指圍成三角形三邊長(zhǎng)的和。

三角形的周長(zhǎng)=三角形三邊之和。

4、三角形的面積

三角形面積是指一個(gè)三角形通過(guò)測(cè)量和計(jì)算而得的平面面積。

幾種常見(jiàn)的求三角形面積的方法：

（1）已知三角形一邊及該邊上的高

$S=\frac{1}{2}ah$（$h$表示邊$a$上的高）。

（2）已知三角形的兩邊及其夾角

$S=\frac{1}{2}ab\sin C=\frac{1}{2}ac\sin B=\frac{1}{2}bc\sin A$。

（3）已知三角形的三邊

$S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$，$p=\frac{1}{2}(a+b+c)$。

（4）已知三角形的三邊及內(nèi)切圓半徑

$S=\frac{1}{2}r(a+b+c)$（$r$表示三角形內(nèi)切圓的半徑）。

（5）已知三角形的三邊及外接圓半徑

$S=\frac{abc}{4R}$（$R$表示三角形外接圓的半徑）。

（6）已知三角形的三角及外接圓半徑

$S=2R^2\sin A\sin B\sin C$（$R$表示三角形外接圓的半徑）。

（7）數(shù)量積形式的三角形面積公式

在$△ABC$中，設(shè)$\overrightarrow{CA}=\boldsymbol b$，$\overrightarrow{CB}=\boldsymbol a$，且$〈\boldsymbol a,\boldsymbol b〉=θ$，則$S=$$\frac{1}{2}|\boldsymbol a||\boldsymbol b|\sin θ=$$\frac{1}{2}\sqrt{|\boldsymbol a|^2|\boldsymbol b|^2-(\boldsymbol a·\boldsymbol b)^2}$。

（8）坐標(biāo)形式的三角形面積公式

在$△ABC$中，設(shè)$\overrightarrow{CB}=$$\boldsymbol a=$$(a_1,a_2)$，$\overrightarrow{CA}=$$\boldsymbol b=$$(b_1,b_2)$，則$S=$$\frac{1}{2}|a_1b_2-a_2b_1|$。

二、三角形的面積的相關(guān)例題

將一個(gè)三角形按$1∶3$縮小得到的三角形的面積是原三角形面積的。

A．$\frac{1}{3}$ B．$\frac{1}{6}$ C．$\frac{1}{9}$

答案：C

解析：三角形的面積=底×高×$\frac{1}{2}$，三角形按$1∶3$縮小，底縮小到原來(lái)的$\frac{1}{3}$，高縮小到原來(lái)的$\frac{1}{3}$，所以面積縮小到原來(lái)的$\frac{1}{3}×\frac{1}{3}=\frac{1}{9}$，故選C。