n階矩陣有n個特征值（包括相同的特征值）。三階矩陣就一定有3個特征值，因為求特征值的時候，是算|xE-A|=0的根，|xE-A|是個3次多項式，必定有3個根。矩陣的秩就是非零特征值的個數(shù)?，F(xiàn)在r(A)=1，就是說，3個根中只有1個非零根，那剩下兩個必定是0，是這樣看出來的。

n階矩陣至少有n個特征值嗎

是的，n階矩陣一定有n個特征值。因為特征值是特征多項式的根,n階方陣的特征多項式是個n次多項式,根據(jù)代數(shù)基本定理,n次多項式有且只有n個根(重根按重數(shù)計算),這些根可能是實數(shù),也可能是復(fù)數(shù)。

更加詳細的說法為：一個n階矩陣一定有n個特征值（包括重根），也可能是復(fù)根。一個n階實對稱矩陣一定有n個實特征值（包括重根）。每一個特征值至少有一個特征向量（不止一個）。不同特征值對應(yīng)特征向量線性無關(guān)。

n階矩陣相關(guān)信息

設(shè)A是數(shù)域P上的一個n階矩陣，λ是一個未知量。

稱為A的特征多項式，記|(λ)=|λE-A|，是一個P上的關(guān)于λ的n次多項式，E是單位矩陣。

|(λ)=|λE-A|=λ+a1λ+…+an= 0是一個n次代數(shù)方程，稱為A的特征方程。特征方程|(λ)=|λE-A|=0的根(如：λ0)稱為A的特征根(或特征值)。n次代數(shù)方程在復(fù)數(shù)域內(nèi)有且僅有n個根，而在實數(shù)域內(nèi)不一定有根，因此特征根的多少和有無，不僅與A有關(guān)，與數(shù)域P也有關(guān)。

性質(zhì)1：若λ是可逆陣A的一個特征根，x為對應(yīng)的特征向量，則1/λ 是A的逆的一個特征根，x仍為對應(yīng)的特征向量。

性質(zhì)2：若 λ是方陣A的一個特征根，x為對應(yīng)的特征向量，則λ 的m次方是A的m次方的一個特征根，x仍為對應(yīng)的特征向量。

性質(zhì)3：設(shè)λ1，λ2，…,λm是方陣A的互不相同的特征值。xj是屬于λi的特征向量( i=1,2,…,m)，則x1,x2,…,xm線性無關(guān)，即不相同特征值的特征向量線性無關(guān)。