正交矩陣是指其轉(zhuǎn)置等于逆的矩陣，性質(zhì)是逆也是正交陣、積也是正交陣。正交矩陣是實數(shù)特殊化的酉矩陣，因此總是屬于正規(guī)矩陣。正交矩陣不一定是實矩陣，實正交矩陣即該正交矩陣中所有元都是實數(shù)，可以看做是一種特殊的酉矩陣，但也存在一種復(fù)正交矩陣，這種復(fù)正交矩陣不是酉矩陣。

正交矩陣的定義

如果：AAT=E（E為單位矩陣，AT表示“矩陣A的轉(zhuǎn)置矩陣”。）或ATA=E，則n階實矩陣A稱為正交矩陣，若A為正交陣，則滿足以下條件:

1)AT是正交矩陣

2)（E為單位矩陣）

3)AT的各行是單位向量且兩兩正交

4)AT的各列是單位向量且兩兩正交

5)(Ax,Ay)=(x,y)x,y∈R

6)|A|=1或-1

7)

8)正交矩陣通常用字母Q表示。

(9)舉例：

若A=[r11r12r13;r21r22r23;r31r32r33]，則有：

正交矩陣的性質(zhì)

矩陣性質(zhì)

實數(shù)方塊矩陣是正交的，當且僅當它的列形成了帶有普通歐幾里得點積的歐幾里得空間R的正交規(guī)范基，它為真當且僅當它的行形成R的正交基。假設(shè)帶有正交(非正交規(guī)范)列的矩陣叫正交矩陣可能是誘人的，但是這種矩陣沒有特殊價值而沒有特殊名字；他們只是MM=D，D是對角矩陣。

1.逆也是正交陣;

2.積也是正交陣;

3.行列式的值為正1或負1。

任何正交矩陣的行列式是+1或?1。這可從關(guān)于行列式的如下基本事實得出：（注：反過來不是真的；有+1行列式不保證正交性，即使帶有正交列，可由下列反例證實。）

對于置換矩陣，行列式是+1還是?1匹配置換是偶還是奇的標志，行列式是行的交替函數(shù)。

比行列式限制更強的是正交矩陣總可以是在復(fù)數(shù)上可對角化來展示特征值的完全的集合，它們?nèi)急仨氂?復(fù)數(shù))絕對值1。