冪函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是ax^(a-1)。冪函數(shù)導(dǎo)數(shù)公式的證明：y=x^a，兩邊取對數(shù)lny=alnx，兩邊對x求導(dǎo)（1/y)*y'=a/x，所以y'=ay/x=ax^a/x=ax^(a-1)。

什么是冪函數(shù)

冪函數(shù)是基本初等函數(shù)之一。

一般地，y=xα（α為有理數(shù)）的函數(shù)，即以底數(shù)為自變量，冪為因變量，指數(shù)為常數(shù)的函數(shù)稱為冪函數(shù)。例如函數(shù)y=x0 、y=x1、y=x2、y=x-1（注：y=x-1=1/x、y=x0時x≠0）等都是冪函數(shù)。

冪函數(shù)的一般形式是 ，其中，a可為任何常數(shù)，但中學(xué)階段僅研究a為有理數(shù)的情形（a為無理數(shù)時，定義域為(0，+∞) ），這時可表示為 ，其中m,n，k∈N*，且m，n互質(zhì)。特別，當(dāng)n=1時為整數(shù)指數(shù)冪。

冪函數(shù)的性質(zhì)是怎樣的

正值性質(zhì)

當(dāng)α>0時，冪函數(shù)y=xα有下列性質(zhì)：

a、圖像都經(jīng)過點（1,1）（0,0）；

b、函數(shù)的圖像在區(qū)間[0,+∞）上是增函數(shù)；

c、在第一象限內(nèi)，α>1時，導(dǎo)數(shù)值逐漸增大；α=1時，導(dǎo)數(shù)為常數(shù)；0<α<1時，導(dǎo)數(shù)值逐漸減小，趨近于0（函數(shù)值遞增）；

負值性質(zhì)

當(dāng)α<0時，冪函數(shù)y=xα有下列性質(zhì)：

a、圖像都通過點（1,1）；

b、圖像在區(qū)間（0，+∞）上是減函數(shù)；（內(nèi)容補充：若為X-2，易得到其為偶函數(shù)。利用對稱性，對稱軸是y軸，可得其圖像在區(qū)間（-∞，0）上單調(diào)遞增。其余偶函數(shù)亦是如此）。

c、在第一象限內(nèi)，有兩條漸近線（即坐標(biāo)軸），自變量趨近0，函數(shù)值趨近+∞，自變量趨近+∞，函數(shù)值趨近0。

零值性質(zhì)

當(dāng)α=0時，冪函數(shù)y=xa有下列性質(zhì)：

a、y=x0的圖像是直線y=1去掉一點（0,1）。它的圖像不是直線。