定義不同，從兩者的數(shù)學(xué)表達(dá)式來看，兩者的未知量X的位置剛好互換。圖像不同：指數(shù)函數(shù)的圖象是單調(diào)的，始終在一、二象限，經(jīng)過（0，1）點；冪函數(shù)需要具體問題具體分析。

指數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)

1、計算方法不同

指數(shù)函數(shù)：自變量x在指數(shù)的位置上，y=a^x（a>0，a不等于1），當(dāng)a>1時，函數(shù)是遞增函數(shù)，且y>0；當(dāng)0<a<1時，函數(shù)是遞減函數(shù)，且y>0.

冪函數(shù)：自變量x在底數(shù)的位置上，y=x^a（a不等于1）。a不等于1，但可正可負(fù)，取不同的值，圖像及性質(zhì)是不一樣的。

2、性質(zhì)不同

冪函數(shù)性質(zhì)：

（1）正值性質(zhì)

當(dāng)α>0時，冪函數(shù)y=xα有下列性質(zhì)：

a、圖像都經(jīng)過點（1,1）（0,0）；

b、函數(shù)的圖像在區(qū)間[0,+∞）上是增函數(shù)；

c、在第一象限內(nèi)，α>1時，導(dǎo)數(shù)值逐漸增大；α=1時，導(dǎo)數(shù)為常數(shù)；0<α<1時，導(dǎo)數(shù)值逐漸減小，趨近于0；

（2）負(fù)值性質(zhì)

當(dāng)α<0時，冪函數(shù)y=xα有下列性質(zhì)：

a、圖像都通過點（1,1）；

b、圖像在區(qū)間（0，+∞）上是減函數(shù)；（內(nèi)容補充：若為X-2，易得到其為偶函數(shù)。利用對稱性，對稱軸是y軸，可得其圖像在區(qū)間（-∞，0）上單調(diào)遞增。其余偶函數(shù)亦是如此）。

c、在第一象限內(nèi)，有兩條漸近線（即坐標(biāo)軸），自變量趨近0，函數(shù)值趨近+∞，自變量趨近+∞，函數(shù)值趨近0。

（3）零值性質(zhì)

當(dāng)α=0時，冪函數(shù)y=xa有下列性質(zhì)：

y=x0的圖像是直線y=1去掉一點（0,1）。它的圖像不是直線。

指數(shù)函數(shù)性質(zhì)：

（1）指數(shù)函數(shù)的定義域為R，這里的前提是a大于0且不等于1。對于a不大于0的情況，則必然使得函數(shù)的定義域不連續(xù)，因此不予考慮，同時a等于0函數(shù)無意義一般也不考慮。

（2）指數(shù)函數(shù)的值域為(0，+∞)。

（3）函數(shù)圖形都是上凹的。

（4）a>1時，則指數(shù)函數(shù)單調(diào)遞增；若0<a<1，則為單調(diào)遞減的（圖2）。

（5）可以看出，就是當(dāng)a從0趨向于無窮大的過程中（不等于0），函數(shù)曲線分別趨向于接近y軸正半軸和x軸負(fù)半軸單調(diào)遞減函數(shù)的位置，以及單調(diào)遞增函數(shù)的位置。Y軸的正半軸和X軸的負(fù)半軸。水平線y=1是由減到增的過渡位置。

（6）函數(shù)總是在某一個方向上無限趨向于X軸,并且永不相交。

（7）指數(shù)函數(shù)無界。

（8）指數(shù)函數(shù)是非奇非偶函數(shù)。

指數(shù)函數(shù)具有反函數(shù)，其反函數(shù)是對數(shù)函數(shù)，它是一個多值函數(shù)。

冪函數(shù)的單調(diào)區(qū)間

當(dāng)α為整數(shù)時，α的正負(fù)性和奇偶性決定了函數(shù)的單調(diào)性：

①當(dāng)α為正奇數(shù)時，圖像在定義域為R內(nèi)單調(diào)遞增；

②當(dāng)α為正偶數(shù)時，圖像在定義域為第二象限內(nèi)單調(diào)遞減，在第一象限內(nèi)單調(diào)遞增；

③當(dāng)α為負(fù)奇數(shù)時，圖像在第一三象限各象限內(nèi)單調(diào)遞減（但不能說在定義域R內(nèi)單調(diào)遞減）；

④當(dāng)α為負(fù)偶數(shù)時，圖像在第二象限上單調(diào)遞增，在第一象限內(nèi)單調(diào)遞減。

當(dāng)α為分?jǐn)?shù)時（且分子為1），α的正負(fù)性和分母的奇偶性決定了函數(shù)的單調(diào)性：

①當(dāng)α>0，分母為偶數(shù)時，函數(shù)在第一象限內(nèi)單調(diào)遞增；

②當(dāng)α>0，分母為奇數(shù)時，函數(shù)在第一三象限各象限內(nèi)單調(diào)遞增；

③當(dāng)α<0，分母為偶數(shù)時，函數(shù)在第一象限內(nèi)單調(diào)遞減；

④當(dāng)α<0，分母為奇數(shù)時，函數(shù)在第一三象限各象限內(nèi)單調(diào)遞減（但不能說在定義域R內(nèi)單調(diào)遞減）。