冪函數(shù)的定義域和值域：當(dāng)m，n都為奇數(shù)，k為偶數(shù)時(shí)，定義域、值域均為R；當(dāng)m，n都為奇數(shù)，k為奇數(shù)時(shí)，定義域、值域均為{x∈R|x≠0}。

定義域和值域

冪函數(shù)的一般形式是y=x^α，其中，a可為任何常數(shù)，但中學(xué)階段僅研究a為有理數(shù)的情形（a為無理數(shù)時(shí)，定義域?yàn)?0，+∞) ），這時(shí)可表示為，其中m,n，k∈N*，且m，n互質(zhì)。特別，當(dāng)n=1時(shí)為整數(shù)指數(shù)冪。

（1）當(dāng)m，n都為奇數(shù)，k為偶數(shù)時(shí)，定義域、值域均為R，為奇函數(shù)；

（2）當(dāng)m，n都為奇數(shù)，k為奇數(shù)時(shí)，定義域、值域均為{x∈R|x≠0}，也就是(-∞，0)∪(0，+∞)，為奇函數(shù)；

（3）當(dāng)m為奇數(shù)，n為偶數(shù)，k為偶數(shù)時(shí)，定義域、值域均為[0，+∞)，為非奇非偶函數(shù)；

（4）當(dāng)m為奇數(shù)，n為偶數(shù)，k為奇數(shù)時(shí)，定義域、值域均為(0，+∞)，為非奇非偶函數(shù)；

（5）當(dāng)m為偶數(shù)，n為奇數(shù)，k為偶數(shù)時(shí)，定義域?yàn)镽、值域?yàn)閇0，+∞)，為偶函數(shù)；

（6）當(dāng)m為偶數(shù)，n為奇數(shù)，k為奇數(shù)時(shí)，定義域?yàn)閧x∈R|x≠0}，也就是（-∞，0)∪(0，+∞)，值域?yàn)?0，+∞)，為偶函數(shù)。

冪函數(shù)的定義域

形如y=x^a(a為常數(shù)）的函數(shù)，稱為冪函數(shù)。

如果a取非零的有理數(shù)是比較容易理解的，不過初學(xué)者對(duì)于a取無理數(shù)，則不太容易理解，在我們的課程里，不要求掌握如何理解指數(shù)為無理數(shù)的問題，因?yàn)檫@涉及到實(shí)數(shù)連續(xù)統(tǒng)的極為深刻的知識(shí)。因此我們只要接受它作為一個(gè)已知事實(shí)即可。

對(duì)于a的取值為非零有理數(shù)，有必要分成幾種情況來討論各自的特性：

首先我們知道如果a=p/q，且p/q為既約分?jǐn)?shù)（即p、q互質(zhì)），q和p都是整數(shù)，則x^(p/q)=q次根號(hào)（x的p次方），如果q是奇數(shù)，函數(shù)的定義域是R，如果q是偶數(shù)，函數(shù)的定義域是[0,＋∞）。當(dāng)指數(shù)n是負(fù)整數(shù)時(shí)，設(shè)a=-k，則x=1/(x^k)，顯然x≠0，函數(shù)的定義域是（－∞，0)∪(0,＋∞).因此可以看到x所受到的限制來源于兩點(diǎn)，一是有可能作為分母而不能是0，一是有可能在偶數(shù)次的根號(hào)下而不能為負(fù)數(shù)，那么我們就可以知道：

排除了為0與負(fù)數(shù)兩種可能，即對(duì)于x>0，則a可以是任意實(shí)數(shù)；

排除了為0這種可能，即對(duì)于x<0或x>0的所有實(shí)數(shù)，q不能是偶數(shù)；

排除了為負(fù)數(shù)這種可能，即對(duì)于x為大于或等于0的所有實(shí)數(shù)，a就不能是負(fù)數(shù)。

總結(jié)起來，就可以得到當(dāng)a為不同的數(shù)值時(shí)，冪函數(shù)的定義域的不同情況如下：

如果a為任意實(shí)數(shù)，則函數(shù)的定義域?yàn)榇笥?的所有實(shí)數(shù)；

如果a為負(fù)數(shù)，則x肯定不能為0，不過這時(shí)函數(shù)的定義域還必須根據(jù)q的奇偶性來確定，即如果同時(shí)q為偶數(shù)，則x不能小于0，這時(shí)函數(shù)的定義域?yàn)榇笥?的所有實(shí)數(shù)；如果同時(shí)q為奇數(shù)，則函數(shù)的定義域?yàn)椴坏扔?的所有實(shí)數(shù)。

在x大于0時(shí)，函數(shù)的值域總是大于0的實(shí)數(shù)。

在x小于0時(shí)，則只有同時(shí)q為奇數(shù)，函數(shù)的值域?yàn)榉橇愕膶?shí)數(shù)。

而只有a為正數(shù)，0才進(jìn)入函數(shù)的值域。

由于x大于0是對(duì)a的任意取值都有意義的，必須指出的是，當(dāng)x<0時(shí)，冪函數(shù)存在一個(gè)相當(dāng)棘手的內(nèi)在矛盾：[x^(a/b)]^(c/d)、[x^(c/d)]^(a/b)、x^(ac/bd)這三者相等嗎？若p/q是ac/bd的既約分?jǐn)?shù)，x^(ac/bd)與x^(p/q)以及x^(kp/kq)（k為正整數(shù)）又能相等嗎？也就是說，在x<0時(shí)，冪函數(shù)值的唯一性與冪指數(shù)的運(yùn)算法則發(fā)生不可調(diào)和的沖突。對(duì)此，現(xiàn)在有兩種觀點(diǎn)：一種堅(jiān)持通過約定既約分?jǐn)?shù)來處理這一矛盾，能很好解決冪函數(shù)值的唯一性問題，但冪指數(shù)的運(yùn)算法則較難維系；另一種觀點(diǎn)則認(rèn)為，直接取消x<0這種情況，即規(guī)定冪函數(shù)的定義域?yàn)閇0，+∞）或（0，+∞）?？磥磉@一問題有待專家學(xué)者們認(rèn)真討論后予以解決。