偶函數(shù)的導(dǎo)數(shù)一定是奇函數(shù)。奇函數(shù)是指對于一個(gè)概念域關(guān)于原點(diǎn)對稱的函數(shù)f（x）的概念域內(nèi)任意一個(gè)x，都有f（-x）=-f（x），那么函數(shù)f（x）就叫做奇函數(shù)。

偶函數(shù)的導(dǎo)數(shù)一定是奇函數(shù)嗎

證明：設(shè)可導(dǎo)的偶函數(shù)f(x)，則f(-x)=f(x)。

兩邊求導(dǎo)：

f'(-x)(-x)'=f'(x)

即f'(-x)(-1)=f'(x)

f'(-x)=-f'(x)

于是f'(x)是奇函數(shù)

f'(-x)(-1)=f'(x)此處用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則由于[f(-x)]'=f'(-x)(-x)',而[f(x)]'=f'(x)于是f(-x)=f(x)兩邊求導(dǎo)得f'(-x)(-x)'=f'(x)。

奇函數(shù)偶函數(shù)的性質(zhì)

奇函數(shù)的性質(zhì)：

1、兩個(gè)奇函數(shù)相加所得的和或相減所得的差為奇函數(shù)。

2、一個(gè)偶函數(shù)與一個(gè)奇函數(shù)相加所得的和或相減所得的差為非奇非偶函數(shù)。

3、兩個(gè)奇函數(shù)相乘所得的積或相除所得的商為偶函數(shù)，一個(gè)偶函數(shù)與一個(gè)奇函數(shù)相乘所得的積或相除所得的商為奇函數(shù)。

4、當(dāng)且僅當(dāng)f（x）=0（定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱）時(shí)，f（x）既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)。奇函數(shù)在對稱區(qū)間上的積分為零。

偶函數(shù)的性質(zhì)：

1、偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱。

2、在偶函數(shù)f(x)中，滿足f(-x)=f(x)的條件。

3、偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對稱的區(qū)間上單調(diào)性相反。

4、如果一個(gè)函數(shù)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)，那么f(x)=0。

5、偶函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱。