冪函數(shù)求導(dǎo)公式：y'=ay/x=ax^a/x=ax^(a-1)。冪函數(shù)導(dǎo)數(shù)公式的證明：y=x^a，兩邊取對數(shù)lny=alnx，兩邊對x求導(dǎo)（1/y)*y'=a/x，所以y'=ay/x=ax^a/x=ax^(a-1)。

冪函數(shù)求導(dǎo)公式

冪函數(shù)導(dǎo)數(shù)公式的證明：

y=x^a。

兩邊取對數(shù)lny=alnx。

兩邊對x求導(dǎo)(1/y)*y'=a/x。

所以y'=ay/x=ax^a/x=ax^(a-1)。

在這個過程之中：

1、lny首先是y的函數(shù)，y又是x的函數(shù)，所以，lny也是x的函數(shù)。

2、lny是一目了然的，是顯而易見的，是直截了當(dāng)?shù)?，所以稱它為顯函數(shù)，explicitfunction。

3、設(shè)u=lny，u是y的顯函數(shù)，它也是x的函數(shù)，由于是隱含的，稱為隱函數(shù)，implicit。

4、u對y求導(dǎo)是1/y，這是對y求導(dǎo)，不是對x求導(dǎo)。

5、u是x的隱函數(shù)，u對x求導(dǎo)，用鏈?zhǔn)角髮?dǎo)，chainrule。

6、u對x的求導(dǎo)，是先對y求導(dǎo)，然后乘上y對x的求導(dǎo)，也就是：

du/dy=1/y。

du/dx=(du/dy)*(dy/dx)=(1/y)*y'=(1/y)y'。

冪函數(shù)導(dǎo)數(shù)公式的證明

y=x^a，兩邊取對數(shù)lny=alnx，兩邊對x求導(dǎo)(1/y)*y'=a/x，所以y'=ay/x=ax^a/x=ax^(a-1)。

當(dāng)α為整數(shù)時，α的正負(fù)性和奇偶性決定了函數(shù)的單調(diào)性：

①當(dāng)α為正奇數(shù)時，圖像在定義域為R內(nèi)單調(diào)遞增。

②當(dāng)α為正偶數(shù)時，圖像在定義域為第二象限內(nèi)單調(diào)遞減，在第一象限內(nèi)單調(diào)遞增。

③當(dāng)α為負(fù)奇數(shù)時，圖像在第一三象限各象限內(nèi)單調(diào)遞減（但不能說在定義域R內(nèi)單調(diào)遞減）。

④當(dāng)α為負(fù)偶數(shù)時，圖像在第二象限上單調(diào)遞增，在第一象限內(nèi)單調(diào)遞減。

一般的，形如y=x^α(α為實數(shù))的函數(shù)，即以底數(shù)為自變量，冪為因變量，指數(shù)為常量的函數(shù)稱為冪函數(shù)。例如函數(shù)y=x y=x、y=x、y=x(注:y=x=1/x y=x時x≠0)等都是冪函數(shù)。當(dāng)a取非零的有理數(shù)時是比較容易理解的，而對于α取無理數(shù)時，初學(xué)者則不大容易理解了。

因此，在初等函數(shù)里，我們不要求掌握指數(shù)為無理數(shù)的問題，只需接受它作為一個已知事實即可，因為這涉及到實數(shù)連續(xù)性的極為深刻的知識。