arctanx的導(dǎo)數(shù)：y=arctanx，x=tany，dx/dy=sec2y=tan2y+1，dy/dx=1/(dx/dy)=1/(tan2y+1)=1/(1+x2)。

證明過程

三角函數(shù)求導(dǎo)公式

(arcsinx)'=1/(1-x^2)^1/2

(arccosx)'=-1/(1-x^2)^1/2

(arctanx)'=1/(1+x^2)

(arccotx)'=-1/(1+x^2)

(arcsecx)'=1/(|x|(x^2-1)^1/2)

(arccscx)'=-1/(|x|(x^2-1)^1/2)

反函數(shù)求導(dǎo)法則

如果函數(shù)x=f(y)x=f(y)在區(qū)間IyIy內(nèi)單調(diào)、可導(dǎo)且f′(y)≠0f′(y)≠0，那么它的反函數(shù)y=f?1(x)y=f?1(x)在區(qū)間Ix={x|x=f(y)，y∈Iy}Ix={x|x=f(y)，y∈Iy}內(nèi)也可導(dǎo)，且

[f?1(x)]′=1f′(y)或dydx=1dxdy

[f?1(x)]′=1f′(y)或dydx=1dxdy

這個結(jié)論可以簡單表達為：反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于直接函數(shù)導(dǎo)數(shù)的倒數(shù)。

例：設(shè)x=siny，y∈[?π2,π2]x=sin?y，y∈[?π2,π2]為直接導(dǎo)數(shù)，則y=arcsinxy=arcsin?x是它的反函數(shù)，求反函數(shù)的導(dǎo)數(shù).

解：函數(shù)x=sinyx=sin?y在區(qū)間內(nèi)單調(diào)可導(dǎo)，f′(y)=cosy≠0f′(y)=cos?y≠0

因此，由公式得

(arcsinx)′=1(siny)′

(arcsin?x)′=1(sin?y)′

=1cosy=11?sin2y????????√=11?x2?????√

=1cos?y=11?sin2?y=11?x2