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求多項(xiàng)式有理根的步驟

2023-09-06 13:18:16文/崔歡

算法：P(x) =anx+an?1x+ ... +a1x+a0，a0, ...,an∈Z,P(p/q) = 0 ，p,q∈Z:-a0qn整除p，因?yàn)閜,q互質(zhì)所以a0整除p，p是a0的因子。同理可證明q是an的因子。

求多項(xiàng)式有理根的步驟

有理根定理

定理：

設(shè)，一有理系數(shù)方程f(x)=a x+...+a x+a ,其中a ≠0。若有一有理數(shù)x 是f(x)的根，顯然x =s/t，其中s、t∈Z且(s，t)=1，則|t|整除|a ,且|s|整除|a |。

應(yīng)用：

例：求f(x)=x-6x+15x-14的全部復(fù)數(shù)根

解 設(shè)f(x)存在有理根s/t,則t|1,s|14.因此t=1。

又當(dāng)x<0,恒有f(x)<0.則f(x)的實(shí)根只能大于0，

∴s∈1、2、7、14。

帶入f(x)試驗(yàn)知道2是f(x)的根，有x-2除f(x)得到q(x)=x-4x+7。

易得q(x)的根為2±√3i

∴f(x)的根是2、2±√3 i

證明：

P(x) =anx+an?1x+ ... +a1x+a0，a0, ...,an∈Z,P(p/q) = 0 ，p,q∈Z:-a0qn整除p，因?yàn)閜,q互質(zhì)所以a0整除p，p是a0的因子。同理可證明q是an的因子。

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