并非任意一個函數(shù)都有反函數(shù)，只有定義域和值域滿足“一一對應(yīng)”的函數(shù)才有反函數(shù)，如函數(shù) y=x^2(x∈R) 就沒有反函數(shù)。只有單調(diào)函數(shù)才具有反函數(shù)。原函數(shù)與反函數(shù)定義域與值域交換。

是不是所有函數(shù)都有反函數(shù)

不是，存在反函數(shù)的充要條件是x與y一一對應(yīng)。也就是說x取一個具體的數(shù)值時，有且僅有一個y值對應(yīng)；y取一個具體的數(shù)值時，有且僅有一個x值對應(yīng)。

事實上，我們接觸更多的是連續(xù)函數(shù)，而不是離散函數(shù)或者分段的不連續(xù)的函數(shù)。連續(xù)函數(shù)存在反函數(shù)的充要條件是函數(shù)在定義域內(nèi)嚴(yán)格單調(diào)。

定義反函數(shù)的前提是，原函數(shù)是雙射(一對一)。同濟(jì)版高數(shù)中，反函數(shù)的定義是“設(shè) f:D→f(D) 為單射，......”因為是到 f(D) 那肯定是滿射，所以也等同于要求是雙射。

另外，關(guān)于反函數(shù)的雙射要求

定義中要求的雙射，就是一對一，左邊右邊都沒有多余的沒用上的點(diǎn)。因為這樣的定義，最簡潔，也足夠應(yīng)付各種反函數(shù)的應(yīng)用場景。

其實，擴(kuò)展到一對一，左邊或右邊有多余的沒用上的點(diǎn)，雖然也沒有矛盾之處，但既然它們是多余的沒有用上的，從數(shù)學(xué)追求簡潔的角度，干脆不帶著它們就好了。這在函數(shù)定義時，也是一樣的道理。對每一個x屬于D，就是把D中元都用上，不用的多余的點(diǎn)也沒有必要帶著它們。

定義域和值域發(fā)生互換：原函數(shù)的值域是反函數(shù)的定義域，原函數(shù)的定義域是反函數(shù)的值域。

求反函數(shù)的一般步驟

(1) 檢驗函數(shù)是否為雙射，或者做水平線檢驗，確定反函數(shù)存在性;表示原函數(shù)的定義域，注意，可能需要限制在部分單調(diào)區(qū)間。

(2) 根據(jù) y=f(x) 反解出 x , 注意從求解過程的一些限制(如分母不為 0 , 根號下大于等于 0 等)得到反函數(shù)的定義域。

(3) 換表示，即交換 x 和 y ，得到最終的反函數(shù)。

注：反函數(shù)一般是在原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間才存在的，也可以借助函數(shù)圖形、函數(shù)單調(diào)性、定義域與值域是互換關(guān)系，來得到反函數(shù)的定義域加以驗證。