可導(dǎo)的充要條件有三，三者皆成立：1、左右導(dǎo)數(shù)存在且相等是可導(dǎo)的充分必要條件。2、可導(dǎo)必定連續(xù)。3、連續(xù)不一定可導(dǎo)。所以，左右導(dǎo)數(shù)存在且相等就能保證該點(diǎn)是連續(xù)的。僅有左右導(dǎo)數(shù)存在且該點(diǎn)連續(xù)不能保證可導(dǎo)：例如y=|x|在x=0點(diǎn)。

可導(dǎo)的充要條件

①左右導(dǎo)數(shù)存在且相等是可導(dǎo)的充分必要條件。

②可導(dǎo)必定連續(xù)。

③連續(xù)不一定可導(dǎo)。

左右導(dǎo)數(shù)存在且相等就能保證該點(diǎn)是連續(xù)的。

僅有左右導(dǎo)數(shù)存在且該點(diǎn)連續(xù)不能保證可導(dǎo)：相對(duì)于初等數(shù)學(xué)而言，數(shù)學(xué)的對(duì)象及方法較為繁雜的一部分。初等數(shù)學(xué)之外的數(shù)學(xué)都是高等數(shù)學(xué)，也有將中學(xué)較深入的代數(shù)、幾何以及簡單的集合論初步、邏輯初步稱為中等數(shù)學(xué)的，將其作為中小學(xué)階段的初等數(shù)學(xué)與大學(xué)階段的高等數(shù)學(xué)的過渡。

高等數(shù)學(xué)是由微積分學(xué)，較深入的代數(shù)學(xué)、幾何學(xué)以及它們之間的交叉內(nèi)容所形成的一門基礎(chǔ)學(xué)科。極限、微積分、空間解析幾何與線性代數(shù)、級(jí)數(shù)、常微分方程。

如果f是在x0處可導(dǎo)的函數(shù)，則f一定在x0處連續(xù)，任何可導(dǎo)函數(shù)一定在其定義域內(nèi)每一點(diǎn)都連續(xù)。存在一個(gè)在其定義域上處處連續(xù)函數(shù)，如果其導(dǎo)函數(shù)存在且是連續(xù)的。

稱是連續(xù)的，直到k階導(dǎo)數(shù)存在且是連續(xù)的。若任意階導(dǎo)數(shù)存在，全體函數(shù)類構(gòu)成Banach空間。在復(fù)分析中，稱函數(shù)是可導(dǎo)的，如果函數(shù)在定義域中每一點(diǎn)處是全純的。

導(dǎo)函數(shù)的拓展資料

導(dǎo)函數(shù)：如果f(x)在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，且在區(qū)間端點(diǎn)a處的右導(dǎo)數(shù)和端點(diǎn)b處的左導(dǎo)數(shù)都存在，則稱f(x)在閉區(qū)間[a,b]上可導(dǎo)，f'(x)為區(qū)間[a,b]上的導(dǎo)函數(shù)，簡稱導(dǎo)數(shù)。

如果函數(shù)f(x)在(a,b)中每一點(diǎn)處都可導(dǎo)，則稱f(x)在(a,b)上可導(dǎo)，則可建立f(x)的導(dǎo)函數(shù)，簡稱導(dǎo)數(shù)，記為f'(x)

如果f(x)在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，且在區(qū)間端點(diǎn)a處的右導(dǎo)數(shù)和端點(diǎn)b處的左導(dǎo)數(shù)都存在，則稱f(x)在閉區(qū)間[a,b]上可導(dǎo)，f'(x)為區(qū)間[a,b]上的導(dǎo)函數(shù)，簡稱導(dǎo)數(shù)。

若將一點(diǎn)擴(kuò)展成函數(shù)f(x)在其定義域包含的某開區(qū)間I內(nèi)每一個(gè)點(diǎn)，那么函數(shù)f(x)在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，這時(shí)對(duì)于內(nèi)每一個(gè)確定的值，都對(duì)應(yīng)著f(x)的一個(gè)確定的導(dǎo)數(shù)，如此一來每一個(gè)導(dǎo)數(shù)就構(gòu)成了一個(gè)新的函數(shù)，這個(gè)函數(shù)稱作原函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)，記作：y'或者f′(x)。

函數(shù)f(x)在它的每一個(gè)可導(dǎo)點(diǎn)x。處都對(duì)應(yīng)著一個(gè)唯一確定的數(shù)值——導(dǎo)數(shù)值f′(x)，這個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系給出了一個(gè)定義在f(x)全體可導(dǎo)點(diǎn)的集合上的新函數(shù)，稱為函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)，記為f′(x)。