復(fù)合函數(shù)就是把幾個簡單的函數(shù)復(fù)合為一個較為復(fù)雜的函數(shù)。例如，函數(shù)y=cosx2，其復(fù)合過程為：y=cosu，u=x2。

函數(shù)的復(fù)合過程

復(fù)合函數(shù)，是按一定次序把有限個函數(shù)合成得到的函數(shù)，對兩個函數(shù)f：A關(guān)于函數(shù)的復(fù)合運(yùn)算→B，g：B→C，由h(x)=g(f(x))(x∈A)確定的函數(shù)h稱為f與g的復(fù)合函數(shù)，記為g·f。這樣，g·f是A到C的函數(shù)，(g·f)(x)=g(f(x))，它的值域是g(f(A))，記號“·”表示兩個函數(shù)的復(fù)合，它是二元運(yùn)算.這個運(yùn)算不滿足交換律，即一般來說g·f≠f·g，但它滿足結(jié)合律：對f：A→B，g：B→C，h：C→D，有h·(g·f)=(h·g)·f，于是可以定義h·g·f=h·(g·f)=(h·g)·f。

一般地，對n+1個滿足Bi?Ai+1(i=1，2，…，n)的函數(shù)fi：Ai→Bi(i=1，2，…，n+1)可以定義n重復(fù)合函數(shù)fn+1·fn·…·f1，任給兩個函數(shù)f：A→B，g：C→D，當(dāng)且僅當(dāng)f(A)?C時可以得到復(fù)合函數(shù)g·f：A→D；當(dāng)且僅當(dāng)g(C)?A時可以得到f·g：C→B，當(dāng)函數(shù)用變量表示為t=f(x)，y=g(t)，且f的值域含于g的定義域時，稱t為復(fù)合函數(shù)y=g(f(x))的中間變量，函數(shù)的復(fù)合是研究函數(shù)的一種工具，一方面它提供了構(gòu)造各式各樣的新函數(shù)的方法；另一方面，為研究復(fù)雜的函數(shù)，常將它們看成一些簡單函數(shù)的復(fù)合(求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)時常這樣做)。

復(fù)合函數(shù)的定義域

若函數(shù)y=f(u)的定義域是B,u=g(x)的定義域是A,則復(fù)合函數(shù)y=f[g(x)]的定義域是D={x|x∈A,且g(x)∈B} 綜合考慮各部分的x的取值范圍，取他們的交集。

求函數(shù)的定義域主要應(yīng)考慮以下幾點(diǎn)：

⑴當(dāng)為整式或奇次根式時，R的值域；

⑵當(dāng)為偶次根式時，被開方數(shù)不小于0（即≥0）；

⑶當(dāng)為分式時，分母不為0；當(dāng)分母是偶次根式時，被開方數(shù)大于0；

⑷當(dāng)為指數(shù)式時，對零指數(shù)冪或負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，底不為0（如，中）。

⑸當(dāng)是由一些基本函數(shù)通過四則運(yùn)算結(jié)合而成的，它的定義域應(yīng)是使各部分都有意義的自變量的值組成的集合，即求各部分定義域集合的交集。

⑹分段函數(shù)的定義域是各段上自變量的取值集合的并集。

⑺由實(shí)際問題建立的函數(shù)，除了要考慮使解析式有意義外，還要考慮實(shí)際意義對自變量的要求

⑻對于含參數(shù)字母的函數(shù)，求定義域時一般要對字母的取值情況進(jìn)行分類討論，并要注意函數(shù)的定義域為非空集合。

⑼對數(shù)函數(shù)的真數(shù)必須大于零，底數(shù)大于零且不等于1。

⑽三角函數(shù)中的切割函數(shù)要注意對角變量的限制。