如果平面外一條直線和平面內(nèi)的一條直線平行，那這么直線就和平面平行。簡(jiǎn)言之：線線平行，則線面平行。同時(shí)，要證明線面平行，就得在平面內(nèi)找一條線，使得線線平行。

線面平行的判定定理

定理1

平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行。

已知：a∥b，a?α，b?α，求證：a∥α

反證法證明：假設(shè)a與α不平行，則它們相交，設(shè)交點(diǎn)為A，那么A∈α

∵a∥b，∴A不在b上

在α內(nèi)過A作c∥b，則a∩c=A

又∵a∥b，b∥c，∴a∥c，與a∩c=A矛盾。

∴假設(shè)不成立，a∥α

向量法證明：設(shè)a的方向向量為a，b的方向向量為b，面α的法向量為p?！遙?α

∴b⊥p，即p·b=0

∵a∥b，由共線向量基本定理可知存在一實(shí)數(shù)k使得a=kb

那么p·a=p·kb=kp·b=0

即a⊥p

∴a∥α

定理2

平面外一條直線與此平面的垂線垂直，則這條直線與此平面平行 [2] 。

已知：a⊥b，b⊥α，且a不在α上。求證：a∥α

證明：設(shè)a與b的垂足為A，b與α的垂足為B。

假設(shè)a與α不平行，那么它們相交，設(shè)a∩α=C，連接BC由于不在直線上的三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)平面，因此ABC首尾相連得到△ABC

∵B∈α，C∈α，b⊥α

∴b⊥BC，即∠ABC=90°

∵a⊥b，即∠BAC=90°

∴在△ABC中，有兩個(gè)內(nèi)角為90°，這是不可能的事情。

∴假設(shè)不成立，a∥α