三角形三條內(nèi)角平分線的交點(diǎn)叫三角形的內(nèi)心。即內(nèi)切圓的圓心。內(nèi)心是三角形角平分線交點(diǎn)的原理：經(jīng)圓外一點(diǎn)作圓的兩條切線，這一點(diǎn)與圓心的連線平分兩條切線的夾角（通過(guò)全等易證明）。

相關(guān)性質(zhì)

設(shè)△ABC的內(nèi)切圓為☉O(半徑r)，角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，p=(a+b+c)/2，三角形內(nèi)心為I

1、三角形的三個(gè)角平分線交于一點(diǎn)，該點(diǎn)即為三角形的內(nèi)心。

2、三角形的內(nèi)心與三角形位置關(guān)系：現(xiàn)有AI交BC于點(diǎn)D；BI交CA于點(diǎn)E；CI交AB于點(diǎn)F,三角形內(nèi)接圓分別交BC,CA,AB于X,Y,Z。

（i）IX:IY:OZ=1:1:1

（ii）BD:DC=b:c;CE:EA=c:a;AF:FB=a:b

（iii）BX:XC=(p-b):(p-c);CY:YA=(p-c):(p-a);AZ:ZB=(p-a):(p-b)

（iv）AI:BI:CI=(1/sin(A/2)):(1/sin(B/2)):(1/sin(C/2))

（v）△IBC,△ICA,△IAB面積比為a:b:c

3、r=S/p。

4、△ABC中，∠C=90°，r=(a+b-c)/2。

5、∠BOC=90°+∠A/2。

6、點(diǎn)O是平面ABC上任意一點(diǎn)，點(diǎn)O是△ABC內(nèi)心的充要條件是：

a(向量OA)+b(向量OB)+c(向量OC)=向量0。

7、點(diǎn)O是平面ABC上任意一點(diǎn)，點(diǎn)I是△ABC內(nèi)心的充要條件是：

向量OI=[a(向量OA)+b(向量OB)+c(向量OC)]/(a+b+c)。

8、△ABC中，A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，那么△ABC內(nèi)心I的坐標(biāo)是：

[ax1/(a+b+c)+bx2/(a+b+c)+cx3/(a+b+c)，ay1/(a+b+c)+by2/(a+b+c)+cy3/(a+b+c)]。

9、(歐拉定理)△ABC中，R和r分別為外接圓為和內(nèi)切圓的半徑，O和I分別為其外心和內(nèi)心，則OI2=R2-2Rr。

10、內(nèi)角平分線分三邊長(zhǎng)度關(guān)系：如圖：△ABC中，AD是∠A的角平分線，D在BC上，a、b、c分別是∠A、∠B、∠C的對(duì)邊，d=AD。設(shè)R1是△ABD的外接圓半徑，R2是△ACD的外接圓半徑，則有：BD/CD=AB/AC

證明：由正弦定理得

b/sinB=c/sinC，d=2R1sinB=2R2sinC，

∴R1/R2=sinC/sinB=c/b.

又BD=2R1sinBAD， CD=2R2sinCAD，∠CAD=∠BAD，

∴BD/CD=R1/R2=c/b=AB/AC