n的n分之一次方的極限等于1。將n換為x，即求：lim[x→+∞] x^(1/x)=lim[x→+∞] e^[(1/x)lnx]=e^[lim[x→+∞] (1/x)lnx]，洛必達(dá)法則=e^[lim[x→+∞] (1/x)]=e^0=1。

證明：n^(1/n)的極限為1

記n^(1/n)=1+a(n), 則n=(1+a(n))^n>n(n-1)/2 * (a(n))^2, 所以

0<a(n)<(2/(n-1))^(1/2)

對(duì)任意ε>0, 取N=1+ 2/ε^2, 當(dāng)n>N時(shí)

|n^(1/n)-1|=a(n)<(2/(n-1))^(1/2) <ε

所以lim(n^(1/n))=1.

什么是極限

“極限”是數(shù)學(xué)中的分支——微積分的基礎(chǔ)概念，廣義的“極限”是指“無(wú)限靠近而永遠(yuǎn)不能到達(dá)”的意思。數(shù)學(xué)中的“極限”指：某一個(gè)函數(shù)中的某一個(gè)變量，此變量在變大（或者變小）的永遠(yuǎn)變化的過(guò)程中，逐漸向某一個(gè)確定的數(shù)值A(chǔ)不斷地逼近而“永遠(yuǎn)不能夠重合到A”（“永遠(yuǎn)不能夠等于A，但是取等于A‘已經(jīng)足夠取得高精度計(jì)算結(jié)果）的過(guò)程中，此變量的變化，被人為規(guī)定為“永遠(yuǎn)靠近而不停止”、其有一個(gè)“不斷地極為靠近A點(diǎn)的趨勢(shì)”。極限是一種“變化狀態(tài)”的描述。此變量永遠(yuǎn)趨近的值A(chǔ)叫做“極限值”（當(dāng)然也可以用其他符號(hào)表示）。