n次根號下n的極限
2021-02-09 08:45:07文/陳宇航lim(n→+∞)n^(1/n)=1。n的階乘的開n次方極限為無窮大，具體可以以n的階乘的開n次方為分母，讓分子為零，整體擴大n次得n的階乘分之一，及解得極限為無窮大。
n次根號n的極限怎么求？
以下n^(1/n)表示n的1/n次方,即n的n次算術(shù)根。
解:當n>1時,顯然
n^(1/n)-1>0.
令n^(1/n)-1=t,則t>0,由二項式定理得
n=(1+t)^n
=C(n,0)t^0+C(n,1)t^1+C(n,2)t^2+......+C(n,n)t^n
>C(n,2)t^2
=n(n-1)t^2/2.
因此
2>(n-1)t^2
從而
t0,
n^(1/n)-1<√2/√(n-1),
lim(n→+∞)√2/√(n-1)=0,
由數(shù)列極限的迫斂性得
lim(n→+∞)(n^(1/n)-1)=0
即
lim(n→+∞)n^(1/n)=1。
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