矩陣乘法對應了一個變換，是把任意一個向量變成另一個方向或長度都大多不同的新向量。在這個變換的過程中，原向量主要發(fā)生旋轉(zhuǎn)、伸縮的變化。如果矩陣對某一個向量或某些向量只發(fā)生伸縮變換，不對這些向量產(chǎn)生旋轉(zhuǎn)的效果，那么這些向量就稱為這個矩陣的特征向量，伸縮的比例就是特征值。

特征向量

矩陣的特征向量是矩陣理論上的重要概念之一，它有著廣泛的應用。數(shù)學上，線性變換的特征向量（本征向量）是一個非簡并的向量，其方向在該變換下不變。該向量在此變換下縮放的比例稱為其特征值（本征值）。

一個線性變換通?？梢杂善涮卣髦岛吞卣飨蛄客耆枋?。特征空間是相同特征值的特征向量的集合?！疤卣鳌币辉~來自德語的eigen。1904年希爾伯特首先在這個意義下使用了這個詞，更早亥爾姆霍爾茲也在相關(guān)意義下使用過該詞。eigen一詞可翻譯為”自身的”、“特定于……的”、“有特征的”、或者“個體的”，這顯示了特征值對于定義特定的線性變換的重要性。

特征向量的物理的含義

特征向量的物理的含義就是運動的圖景：特征向量在一個矩陣的作用下作伸縮運動，伸縮的幅度由特征值確定。特征值大于1，所有屬于此特征值的特征向量身形暴長；

特征值大于0小于1，特征向量身形猛縮；

特征值小于0，特征向量縮過了界，反方向到0點那邊去了。