一個(gè)特征值只能有一個(gè)特征向量。特征值和特征向量都是數(shù)學(xué)概念，若σ是線(xiàn)性空間V的線(xiàn)性變換，σ對(duì)V中某非零向量x的作用是伸縮，σ（x）=aζ，則稱(chēng)x是σ的屬于a的特征向量，a稱(chēng)為σ的特征值。

位似變換σk（即對(duì)V中所有a，有σk（a）=kα）使V中非零向量均為特征向量，它們同屬特征值k；而旋轉(zhuǎn)角θ（0<θ<π）的變換沒(méi)有特征向量。可以通過(guò)矩陣表示求線(xiàn)性變換的特征值、特征向量。

若A是n階方陣，I是n階單位矩陣，則稱(chēng)xI－A為A的特征方陣，xI-A的行列式|xI－A|展開(kāi)為x的n次多項(xiàng)式fA（x）=xn－（a11+…+ann）xn-1+…+（－1）n|A|，稱(chēng)為A的特征多項(xiàng)式，它的根稱(chēng)為A的特征值。若λ0是A的一個(gè)特征值，則以λ0I－A為系數(shù)方陣的齊次方程組的非零解x稱(chēng)為A的屬于λ的特征向量：Ax=λ0x。L.歐拉在化三元二次型到主軸的著作里隱含出現(xiàn)了特征方程概念，J.L.拉格朗日為處理六大行星運(yùn)動(dòng)的微分方程組首先明確給出特征方程概念。特征方程也稱(chēng)永年方程，特征值也稱(chēng)本征值、固有值。固有值問(wèn)題在物理學(xué)許多部門(mén)是重要問(wèn)題。線(xiàn)性變換或矩陣的對(duì)角化、二次型化到主軸都?xì)w為求特征值特征向量問(wèn)題。每個(gè)實(shí)對(duì)稱(chēng)方陣的特征根均為實(shí)數(shù)。A.凱萊于19世紀(jì)中期通過(guò)對(duì)三階方陣驗(yàn)證，宣告凱萊-哈密頓定理成立，即每個(gè)方陣A滿(mǎn)足它的特征方程，fA(A)=An－(a11+…+ann)An-1+…+(－1)n|A|I=0。