連續(xù)是在一個(gè)點(diǎn)附近表現(xiàn)得平滑，一致連續(xù)是在整個(gè)區(qū)間上表現(xiàn)得比較“整齊”，變化速度比較均勻。也就是說“一致連續(xù)刻畫整體性，連續(xù)刻畫單點(diǎn)局部性。”，一致連續(xù)和連續(xù)的區(qū)別有范圍不同、連續(xù)性不同、圖像區(qū)別。

一致連續(xù)和連續(xù)的區(qū)別

區(qū)別有范圍不同、連續(xù)性不同、圖像區(qū)別。范圍不同：連續(xù)是局部性質(zhì),一般只對(duì)單點(diǎn)，而一致連續(xù)是整體性質(zhì)，要對(duì)定義域上的某個(gè)子集。連續(xù)性不同：一致連續(xù)的函數(shù)必連續(xù)，連續(xù)的未必一致連續(xù)。如果一個(gè)函數(shù)具有一致連續(xù)性則一定具有連續(xù)性，而函數(shù)具有連續(xù)性并不一定具有一致連續(xù)性。

圖像區(qū)別：閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)必一致連續(xù)，所以在閉區(qū)間上來講二者是一致的；在開區(qū)間連續(xù)的未必一致連續(xù)，一致連續(xù)的函數(shù)圖像不存在上升或者下降的坡度無限變陡的情況，連續(xù)的卻有可能出現(xiàn)，比如在（0，1）上連續(xù)的函數(shù)y=1/x。

一致連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)

1、設(shè)函數(shù)在區(qū)間和上一致連續(xù)，若，則在上也一致連續(xù)。

2、若函數(shù)都在區(qū)間I上一致連續(xù)，則也在區(qū)間I上一致連續(xù)。

3、若在有限區(qū)間I上一致連續(xù)，則在I上有界。

4、若函數(shù)都在有限區(qū)間I上的有界的一致連續(xù)函數(shù)，則在區(qū)間I上也一致連續(xù)。

5、若在定義域I上一致連續(xù)，其值域?yàn)閁，在U上一致連續(xù)，則在I上一致連續(xù)。

一致連續(xù)和連續(xù)有哪些不同

1. 范圍不同：連續(xù)是局部性質(zhì)，通常只針對(duì)單個(gè)點(diǎn)；一致連續(xù)是整體性質(zhì)，需要對(duì)定義域上的某個(gè)子集做出考慮。

2. 連續(xù)性概念不同：一致連續(xù)的函數(shù)必然連續(xù)，但連續(xù)的函數(shù)未必一致連續(xù)。具有一致連續(xù)性的函數(shù)一定是連續(xù)的，但連續(xù)函數(shù)未必具備一致連續(xù)性。

3. 圖像表現(xiàn)不同：閉合區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)必然是一致連續(xù)的，所以在閉合區(qū)間內(nèi)它們是等價(jià)的。在開區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)不一定是一致連續(xù)的；一致連續(xù)的函數(shù)的圖像不會(huì)出現(xiàn)無限陡峭的情況，而連續(xù)函數(shù)可能在某些情況下會(huì)產(chǎn)生這樣的情形，例如在區(qū)間(0,1)上連續(xù)的函數(shù)y=1/x。

一致連續(xù)的理解

想象有一條長(zhǎng)長(zhǎng)的路，函數(shù)就像是一個(gè)人在路上走。

一致連續(xù)的意思是，不管這個(gè)人在路的哪個(gè)位置開始走，也不管走多遠(yuǎn)，他前后步伐的大小總是差不多的。

比如說，如果規(guī)定每一步最大只能跨 1 米，那不管從哪里開始走，走 10 米還是 100 米，每一步都不會(huì)超過 1 米。

用數(shù)學(xué)的話來說，對(duì)于任意給定的一個(gè)很小的距離（比如叫 ε），都能找到一個(gè)固定的長(zhǎng)度（比如叫 δ），只要兩個(gè)點(diǎn)之間的距離小于這個(gè) δ，那么它們對(duì)應(yīng)的函數(shù)值的距離就一定小于 ε 。

總之，一致連續(xù)就是函數(shù)值的變化在整個(gè)區(qū)間內(nèi)是比較均勻、有規(guī)律的，不會(huì)有的地方變化快，有的地方變化慢。

下面解釋【對(duì)于任意給定的一個(gè)很小的距離（比如叫 ε），都能找到一個(gè)固定的長(zhǎng)度（比如叫 δ），只要兩個(gè)點(diǎn)之間的距離小于這個(gè) δ，那么它們對(duì)應(yīng)的函數(shù)值的距離就一定小于 ε ?！窟@段話：

假設(shè)函數(shù)是一個(gè)機(jī)器，輸入值是我們給機(jī)器的原料，輸出值是機(jī)器生產(chǎn)出來的產(chǎn)品。

現(xiàn)在呢，我們說任意給定一個(gè)很小很小的誤差范圍 ε ，這個(gè) ε 就好比是我們對(duì)產(chǎn)品質(zhì)量要求的一個(gè)非常小的誤差容忍度。

然后呢，我們總能找到一個(gè) δ ， δ 就像是一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的原料長(zhǎng)度范圍。

如果我們給機(jī)器輸入的兩個(gè)原料之間的距離小于這個(gè) δ ，也就是原料的差距在 δ 范圍內(nèi)。

那么機(jī)器生產(chǎn)出來的兩個(gè)產(chǎn)品之間的距離，也就是對(duì)應(yīng)的函數(shù)值的差距，就一定會(huì)小于我們一開始規(guī)定的那個(gè)很小很小的誤差容忍度 ε 。

簡(jiǎn)單說，就是只要原料的差距小（小于 δ ），產(chǎn)品的差距就一定也?。ㄐ∮?ε ）。