常用的四個均值不等式包括：算術(shù)平均不等式、幾何平均不等式、平方平均不等式和調(diào)和平均不等式。高中均值不等式：a2+b2≥2ab；√(ab)≤(a+b)/2；a2+b2+c2≥（a+b+c）2/3；a+b+c≥3×三次根號abc。

四個均值不等式是什么

1. 算術(shù)平均不等式：對于任意非負實數(shù)a和b，成立不等式

$\frac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab}$。

這個不等式告訴我們，如果兩個數(shù)的和除以2大于等于它們的乘積的平方根，那么它們的和除以2至少不小于它們的乘積的平方根。

2. 幾何平均不等式：對于任意非負實數(shù)a和b，成立不等式

$\sqrt{ab} \geq \frac{a+b}{2}$。

這個不等式告訴我們，如果兩個數(shù)的乘積的平方根大于等于它們的和除以2，那么它們的乘積的平方根至少不小于它們的和除以2。

3. 平方平均不等式：對于任意非負實數(shù)a和b，成立不等式

$\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}} \geq \frac{a+b}{2}$。

這個不等式告訴我們，如果兩個數(shù)的平方和除以2的平方根大于等于它們的和除以2，那么它們的平方和除以2的平方根至少不小于它們的和除以2。

4. 調(diào)和平均不等式：對于任意正實數(shù)a和b，成立不等式

$\frac{2}{\frac{1}{a} + \frac{1}} \leq \frac{a+b}{2}$。

這個不等式告訴我們，如果兩個數(shù)的倒數(shù)的平均值小于等于它們的和除以2的倒數(shù)，那么它們的倒數(shù)的平均值至少不大于它們的和除以2的倒數(shù)。

這四個常用的均值不等式在數(shù)學(xué)和實際問題中有廣泛的應(yīng)用，可以幫助我們建立或判斷數(shù)值之間的關(guān)系。拓展知識：除了上述四個常用的均值不等式，還有一些其他的均值不等式，如夾逼定理、加權(quán)平均不等式等，它們在不同的數(shù)學(xué)領(lǐng)域和問題中也發(fā)揮著重要作用。

均值不等式的公式

1、調(diào)和平均數(shù)：Hn=n/(1/a_1+1/a_2+?+1/a_n )

2、幾何平均數(shù)：Gn=n√(a_1 a_2…a_n )

3、算術(shù)平均數(shù)：An=(a_1+a_2+?+a_n)/n

4、平方平均數(shù)：Qn=√((a_1^2+a_2^2+?+a_n^2)/n)

5、均值定理： 如果

屬于正實數(shù)那么且僅當(dāng)時 等號成立。

這四種平均數(shù)滿足Hn≤Gn≤An≤Qn

a1、a2、… 、an∈R +，當(dāng)且僅當(dāng)a1=a2= … =an時取“=”號

均值不等式的一般形式：設(shè)函數(shù)D(r)=[（a1^r+a2^r+...an^r）/n]^(1/r）（當(dāng)r不等于0時）；

（a1a2...an)^(1/n）（當(dāng)r=0時）（即D(0)=(a1a2...an)^(1/n））

則 [1]當(dāng)注意到Hn≤Gn≤An≤Qn僅是上述不等式的特殊情形，即D(-1）≤D(0）≤D⑴≤D⑵

由以上簡化，有一個簡單結(jié)論，中學(xué)常用2/(1/a+1/b）≤√ab≤（a+b)/2≤√[(a^2+b^2)/2]

均值定理的證明：因為 a 〉0 ， b 〉0 所以 a+b/2 - √ab = a+b-2√ab/2 = (√a-√b)^2/2 ≥ 0

即 a+b/2≥√ab. 當(dāng)且僅當(dāng)√a= √b ,等號成立。