均值不等式，又名平均值不等式、平均不等式，是數(shù)學(xué)中的一個(gè)重要公式：公式內(nèi)容為Hn≤Gn≤An≤Qn，即調(diào)和平均數(shù)不超過(guò)幾何平均數(shù)，幾何平均數(shù)不超過(guò)算術(shù)平均數(shù)，算術(shù)平均數(shù)不超過(guò)平方平均數(shù)。

均值不等式的公式

1、調(diào)和平均數(shù)：Hn=n/(1/a_1+1/a_2+?+1/a_n )

2、幾何平均數(shù)：Gn=n√(a_1 a_2…a_n )

3、算術(shù)平均數(shù)：An=(a_1+a_2+?+a_n)/n

4、平方平均數(shù)：Qn=√((a_1^2+a_2^2+?+a_n^2)/n)

5、均值定理： 如果

屬于正實(shí)數(shù)那么且僅當(dāng)時(shí) 等號(hào)成立。

這四種平均數(shù)滿足Hn≤Gn≤An≤Qn

a1、a2、… 、an∈R +，當(dāng)且僅當(dāng)a1=a2= … =an時(shí)取“=”號(hào)

均值不等式的一般形式：設(shè)函數(shù)D(r)=[（a1^r+a2^r+...an^r）/n]^(1/r）（當(dāng)r不等于0時(shí)）；

（a1a2...an)^(1/n）（當(dāng)r=0時(shí)）（即D(0)=(a1a2...an)^(1/n））

則 [1]當(dāng)注意到Hn≤Gn≤An≤Qn僅是上述不等式的特殊情形，即D(-1）≤D(0）≤D⑴≤D⑵

由以上簡(jiǎn)化，有一個(gè)簡(jiǎn)單結(jié)論，中學(xué)常用2/(1/a+1/b）≤√ab≤（a+b)/2≤√[(a^2+b^2)/2]

均值定理的證明：因?yàn)?a 〉0 ， b 〉0 所以 a+b/2 - √ab = a+b-2√ab/2 = (√a-√b)^2/2 ≥ 0

即 a+b/2≥√ab. 當(dāng)且僅當(dāng)√a= √b ,等號(hào)成立。

均值不等式證明

用數(shù)學(xué)歸納法的證明

第一步：等價(jià)變換，分子增加又減去同一項(xiàng)，巧妙處是這一項(xiàng)指數(shù)的選取，正好是要證明的右端。

第二步：（1）把前面（a1+a2+...+ak）用上面假設(shè)n=k成立時(shí)較小的右端乘k代替，（a1+a2+...+ak）/k≥（a1a2...ak）^(1/k),兩邊乘k：

a1+a2+...+ak≥k（a1a2...ak）^(1/k),

因此≥成立。

（2）難點(diǎn)是a（k+1）+（k-1）（a1a2...a（k+1））^(1/(k+1))≥k[a(k+1)(a1a2...a(k+1))^[(k-1)/(k+1)]]^(1/k)

其實(shí)也很好證明（k-1）（a1a2...a（k+1））^(1/(k+1)，看成是k-1個(gè)數(shù)，加上a（k+1），也是k個(gè)數(shù)。

根據(jù)上面假設(shè)，n=k時(shí)，（a1+a2+...+ak）/k≥（a1a2...ak）^(1/k)是成立的，

注意?。?！a1，a2，...，ak只是正數(shù)的代表，不限于什么正數(shù)，換成k個(gè)數(shù)：a（k+1），和k-1個(gè)（a1a2...a（k+1））^(1/(k+1)，這個(gè)不等式也是成立的！代換一下，就成了：

a（k+1）+（k-1）（a1a2...a（k+1））^(1/(k+1))≥k[a(k+1)(a1a2...a(k+1))^[(k-1)/(k+1)]]^(1/k)

第三步：

前面兩項(xiàng)提取k之后成為：

（a1a2...ak）^(1/k)+[a(k+1)(a1a2...a(k+1))^[(k-1)/(k+1)]]^(1/k)

使用前面一開(kāi)始證明的n=2時(shí)的結(jié)果，a1+a2≥2√（a1a2）（當(dāng)成公式，不是當(dāng)成數(shù)）

（a1a2...ak）^(1/k)+[a(k+1)(a1a2...a(k+1))^[(k-1)/(k+1)]]^(1/k)

≥2{（a1a2...ak）^(1/k)[a(k+1)(a1a2...a(k+1))^[(k-1)/(k+1)]]^(1/k)}^(1/2)

=2{（a1a2...ak）^(1/k)[a(k+1)^(1/k)(a1a2...a(k+1))^[(k-1)/k(k+1)]]}^(1/2)

=2{（a1a2...ak）^(1/k)[a(k+1)^(1/k)(a1a2...a(k+1))^[1/（k+1）-1/k(k+1)]]}^(1/2)

=2{（a1a2...ak）^(1/k)[a(k+1)^(1/k)(a1a2...a(k+1))^[1/（k+1）-1/k+1/(k+1)]]}^(1/2)

=2{（a1a2...aka(k+1)）^(1/k)[(a1a2...a(k+1))^[2/（k+1）-1/k]]}^(1/2)

=2{[(a1a2...a(k+1))^[2/（k+1）-1/k+1/k]]}^(1/2)

=2{[(a1a2...a(k+1))^[2/（k+1）]]}^(1/2)

=2(a1a2...a(k+1))^[1/（k+1）]

然后代入即可。