正定矩陣不一定是對(duì)稱的。正定矩陣在實(shí)數(shù)域上是對(duì)稱矩陣，在復(fù)數(shù)域是厄米特矩陣(共軛對(duì)稱)。對(duì)于一個(gè)具體的實(shí)對(duì)稱矩陣，通常用來判斷其正定性的是矩陣各階的主子式是否大于零；對(duì)于抽象矩陣，給定矩陣的正定性，利用標(biāo)準(zhǔn)型、特征值和充要條件證明相關(guān)矩陣的正定性。

正定矩陣定義

（1）廣義定義：設(shè)M是n階方陣，如果對(duì)任何非零向量z，都有zTMz> 0，其中zT表示z的轉(zhuǎn)置，就稱M為正定矩陣。

例如：B為n階矩陣，E為單位矩陣，a為正實(shí)數(shù)。在a充分大時(shí)，aE+B為正定矩陣。（B必須為對(duì)稱陣）

（2）狹義定義：一個(gè)n階的實(shí)對(duì)稱矩陣M是正定的的條件是當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)于所有的非零實(shí)系數(shù)向量z，都有zTMz> 0。其中zT表示z的轉(zhuǎn)置。

正定矩陣都是對(duì)稱矩陣嗎

不一定是對(duì)稱的。

正定矩陣在實(shí)數(shù)域上是對(duì)稱矩陣。在復(fù)數(shù)域上是厄米特矩陣（共軛對(duì)稱）。

因?yàn)檎ň仃囋诙x的時(shí)候就是要在厄米特矩陣的域內(nèi)（實(shí)數(shù)域上是對(duì)稱矩陣）。

如果只是要求矩陣M有(x^T)Mx>0,那么任何矩陣M，只要其滿足A=(M+M^T）/2，且(x^T)Ax>0,即可。例如，M=[1 -1;1 1] ，A=[1 0;0 1]。但如果M不是厄米特矩陣，一般不討論他的正定性。

例如：

A=[1 1;-1,1]

這個(gè)矩陣滿足對(duì)于任意實(shí)非零向量向量x=(x1,x2)，有x^TAx>0，因此是正定的。

如果一個(gè)矩陣A是正定的，那么對(duì)稱矩陣B=(A+A^T）/2也是正定的，這是判定一個(gè)實(shí)系數(shù)矩陣是否為正定矩陣的充要條件。

對(duì)于任意對(duì)稱矩陣B，我們可以對(duì)其進(jìn)行卡氏分解。

對(duì)于復(fù)系數(shù)矩陣，我們有B=(A+A*）/2為正定矩陣。