實(shí)對稱矩陣是“母”概念。正定矩陣是“子”概念。正定矩陣是實(shí)對稱矩陣的一種。實(shí)對稱矩陣還包括負(fù)定、半正定、半負(fù)定矩陣。

正定矩陣都是對稱矩陣嗎

不一定是對稱的。

正定矩陣在實(shí)數(shù)域上是對稱矩陣。在復(fù)數(shù)域上是厄米特矩陣（共軛對稱）。

因?yàn)檎ň仃囋诙x的時候就是要在厄米特矩陣的域內(nèi)（實(shí)數(shù)域上是對稱矩陣）。

如果只是要求矩陣M有(x^T)Mx>0,那么任何矩陣M，只要其滿足A=(M+M^T）/2，且(x^T)Ax>0,即可。例如，M=[1 -1;1 1] ，A=[1 0;0 1]。但如果M不是厄米特矩陣，一般不討論他的正定性。

例如：

A=[1 1;-1,1]

這個矩陣滿足對于任意實(shí)非零向量向量x=(x1,x2)，有x^TAx>0，因此是正定的。

如果一個矩陣A是正定的，那么對稱矩陣B=(A+A^T）/2也是正定的，這是判定一個實(shí)系數(shù)矩陣是否為正定矩陣的充要條件。

對于任意對稱矩陣B，我們可以對其進(jìn)行卡氏分解。

對于復(fù)系數(shù)矩陣，我們有B=(A+A*）/2為正定矩陣。

正定矩陣性質(zhì)

（1）正定矩陣的行列式恒為正；

（2）實(shí)對稱矩陣A正定當(dāng)且僅當(dāng)A與單位矩陣合同；

（3）若A是正定矩陣，則A的逆矩陣也是正定矩陣；

（4）兩個正定矩陣的和是正定矩陣；

（5）正實(shí)數(shù)與正定矩陣的乘積是正定矩陣。