正定矩陣一定是實對稱矩陣嗎

2021-09-10 16:27:49文/丁雪竹

不一定是對稱的。正定矩陣在實數(shù)域上是對稱矩陣。在復(fù)數(shù)域上是厄米特矩陣(共軛對稱)。因為正定矩陣在定義的時候就是要在厄米特矩陣的域內(nèi)(實數(shù)域上是對稱矩陣)。

正定矩陣一定是實對稱矩陣嗎

正定矩陣定義

（1）廣義定義：設(shè)M是n階方陣，如果對任何非零向量z，都有zTMz> 0，其中zT表示z的轉(zhuǎn)置，就稱M為正定矩陣。

例如：B為n階矩陣，E為單位矩陣，a為正實數(shù)。在a充分大時，aE+B為正定矩陣。（B必須為對稱陣）

（2）狹義定義：一個n階的實對稱矩陣M是正定的的條件是當(dāng)且僅當(dāng)對于所有的非零實系數(shù)向量z，都有zTMz> 0。其中zT表示z的轉(zhuǎn)置。

1、正定矩陣的特征值都是正數(shù)。

2、正定矩陣的主元也都是正數(shù)。

3、正定矩陣的所有子行列式都是正數(shù)。

4、正定矩陣將方陣特征值，主元，行列式融為一體。

正定矩陣的特征方法

1、對稱矩陣A正定的充分必要條件是A的n個特征值全是正數(shù)。

2、對稱矩陣A正定的充分必要條件是A合同于單位矩陣E。

3、對稱矩陣A正定(半正定)的充分必要條件是存在n階可逆矩陣U使A=U^TU

4、對稱矩陣A正定，則A的主對角線元素均為正數(shù)。

5、對稱矩陣A正定的充分必要條件是:A的n個順序主子式全大于零。

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