在一般情況下，如果x與y關(guān)于某種對(duì)應(yīng)關(guān)系函數(shù)f（x）相對(duì)應(yīng)，y=f（x），則y=f（x）的反函數(shù)為y=f -1(x)。反函數(shù)就是把原函數(shù)的x,y互換，原函數(shù)與反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)互為倒數(shù)。

原函數(shù)與反函數(shù)的定義

（一）原函數(shù)：

原函數(shù)的定義：對(duì)于一個(gè)定義在某區(qū)間的已知函數(shù)f(x)，如果存在可導(dǎo)函數(shù)F(x)，使得在該區(qū)間內(nèi)的任一點(diǎn)都存在dF(x)=f(x)dx，則在該區(qū)間內(nèi)就稱(chēng)函數(shù)F(x)為函數(shù)f(x)的原函數(shù)。

原函數(shù)的例子：∫cosxdx=sinx

原函數(shù)的定理：函數(shù)f(x)在某區(qū)間上連續(xù)的話，那么f(x)在這個(gè)區(qū)間里必會(huì)存在原函數(shù)。這是屬于充分不必要條件，還被叫做是原函數(shù)存在定理，要是函數(shù)有原函數(shù)的話，那它的原函數(shù)為無(wú)窮多個(gè)。

（二）反函數(shù)：

反函數(shù)的定義：設(shè)函數(shù)y=f(x)(x∈A)的值域是C，若找得到一個(gè)函數(shù)g(y)在每一處g(y)都等于x，這樣的函數(shù)x= g(y)(y∈C)叫做函數(shù)y=f(x)(x∈A)的反函數(shù)，記作y=f﹣1(x) 。反函數(shù)y=f ﹣1(x)的定義域、值域分別是函數(shù)y=f(x)的值域、定義域。最具有代表性的反函數(shù)就是對(duì)數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)。

反函數(shù)的例子：y=2x-1的反函數(shù)是y=0.5x+0.5

反函數(shù)性質(zhì)：函數(shù)f(x)與它的反函數(shù)f-1(x)圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱(chēng)；函數(shù)及其反函數(shù)的圖形關(guān)于直線y=x對(duì)稱(chēng)；函數(shù)存在反函數(shù)的充要條件是，函數(shù)的定義域與值域是一一映射的。

原函數(shù)與反函數(shù)的關(guān)系

1、函數(shù)的反函數(shù)，本身也是一個(gè)函數(shù)，由反函數(shù)的定義，原來(lái)函數(shù)也是其反函數(shù)的反函數(shù)，故函數(shù)的原來(lái)函數(shù)與反函數(shù)互稱(chēng)為反函數(shù)。

2、反函數(shù)的定義域與值域分別是原來(lái)函數(shù)的值域與定義域。

3、偶函數(shù)必?zé)o反函數(shù)。

4、單調(diào)函數(shù)必有反函數(shù)。

5、奇函數(shù)如果有反函數(shù)，其反函數(shù)也是奇函數(shù)。

6、原函數(shù)與其反函數(shù)在他們各自的定義域上單調(diào)性相同。

7、互為反函數(shù)的圖象間的關(guān)系。

8、函數(shù)y=f(x)的圖象和它的反函數(shù)y=f-1(x)的圖象關(guān)于直線y＝x對(duì)稱(chēng)，關(guān)于這一關(guān)系的理解要注意以下三點(diǎn)：

函數(shù)y=f(x)與y=f-1(x)的圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱(chēng)，這個(gè)結(jié)論是在坐標(biāo)系中橫坐標(biāo)軸為x軸，縱坐標(biāo)軸為y軸，而且橫坐標(biāo)軸與縱坐標(biāo)軸的單位長(zhǎng)度一致的前提下得出的；

（a,b）在y=f(x)的圖象上＜＝＞（b,a）在y=f-1(x)的圖象上；

若y＝f(x)存在反函數(shù)y=f-1(x)，則函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱(chēng)的充分必要條件為f(x)＝f-1(x)，即原、反函數(shù)的解析式相同。