通過求解方程pA(λ)=0來得到。若A是一個(gè)n×n矩陣，則pA為n次多項(xiàng)式，因而A最多有n個(gè)特征值。反過來，代數(shù)基本定理說這個(gè)方程剛好有n個(gè)根，如果重根也計(jì)算在內(nèi)的話。所有奇數(shù)次的多項(xiàng)式必有一個(gè)實(shí)數(shù)根，因此對(duì)于奇數(shù)n，每個(gè)實(shí)矩陣至少有一個(gè)實(shí)特征值。在實(shí)矩陣的情形，對(duì)于偶數(shù)或奇數(shù)的n，非實(shí)數(shù)特征值成共軛對(duì)出現(xiàn)。

矩陣的特征向量是矩陣?yán)碚撋系闹匾拍钪?，它有著廣泛的應(yīng)用。數(shù)學(xué)上，線性變換的特征向量（本征向量）是一個(gè)非簡并的向量，其方向在該變換下不變。該向量在此變換下縮放的比例稱為其特征值（本征值）。

特征值的幾何重次是相應(yīng)特征空間的維數(shù)。有限維向量空間上的一個(gè)線性變換的譜是其所有特征值的集合。例如，三維空間中的旋轉(zhuǎn)變換的特征向量是沿著旋轉(zhuǎn)軸的一個(gè)向量，相應(yīng)的特征值是1，相應(yīng)的特征空間包含所有和該軸平行的向量。該特征空間是一個(gè)一維空間，因而特征值1的幾何重次是1。特征值1是旋轉(zhuǎn)變換的譜中唯一的實(shí)特征值。