絕對(duì)值三角不等式公式
2021-03-19 15:29:09文/葉丹絕對(duì)值三角不等式定理：|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|。三角不等式，即在三角形中兩邊之和大于第三邊，有時(shí)亦指用不等號(hào)連接的含有三角函數(shù)的式子。
絕對(duì)值三角不等式公式
||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|是由兩個(gè)雙邊不等式組成。
一個(gè)是||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|，這個(gè)不等式當(dāng)a、b同方向時(shí)（如果是實(shí)數(shù)，就是正負(fù)符合相同）|a+b|=|a|+|b|成立。當(dāng)a、b異向（如果是實(shí)數(shù)，就是ab正負(fù)符合不同）時(shí)，||a|-|b||=|a±b|成立。
另一個(gè)是||a|-|b||≤|a-b|≤|a|+|b|，這個(gè)等號(hào)成立的條件剛好和前面相反，當(dāng)a、b異向（如果是實(shí)數(shù)，就是ab正負(fù)符合不同）時(shí)，|a-b|=|a|+|b|成立。當(dāng)a、b同方向時(shí)（如果是實(shí)數(shù)，就是正負(fù)符合相同）時(shí)，||a|-|b||=|a-b|成立。
三角不等式證明
設(shè)ABC為一個(gè)三角形，記△ABC，延長(zhǎng)BA至點(diǎn)D，使DA=CA，連接DC.
則因DA=AC，∠ADC=∠ACD（等邊對(duì)等角，《幾何原本》命題5）
所以∠BCD大于∠ADC（整體大于部分公理）
由于DCB是三角形，∠BCD大于∠BDC，而且較大角所對(duì)的邊較大（大角對(duì)大邊，命題19）
所以DB>BC，而DA=AC
則DB=AB+AD=AB+AC>BC.
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