向量叉乘的幾何意義

2020-01-17 13:14:55文/葉丹

幾何意義：叉積的長(zhǎng)度|a×b|可以解釋成這兩個(gè)叉乘向量a，b共起點(diǎn)時(shí)，所構(gòu)成平行四邊形的面積。據(jù)此有：混合積[abc]=（a×b）·c，可以得到以a，b，c為棱的平行六面體的體積。

向量叉乘的幾何意義

向量積（矢積）與數(shù)量積（標(biāo)積）的區(qū)別

名稱	標(biāo)積/內(nèi)積/數(shù)量積/點(diǎn)積	矢積/外積/向量積/叉積
運(yùn)算式（a，b和c粗體字，表示向量）	a·b=\|a\|\|b\|·cosθ	a×b=c，其中\|c\|=\|a\|\|b\|·sinθ，c的方向遵守右手定則
幾何意義	向量a在向量b方向上的投影與向量b的模的乘積	c是垂直a、b所在平面，且以\|b\|·sinθ為高、\|a\|為底的平行四邊形的面積
運(yùn)算結(jié)果的區(qū)別	標(biāo)量（常用于物理）/數(shù)量（常用于數(shù)學(xué)）	矢量（常用于物理）/向量（常用于數(shù)學(xué)）

叉乘幾何意義及用途

在三維幾何中，向量a和向量b的外積結(jié)果是一個(gè)向量，有個(gè)更通俗易懂的叫法是法向量，該向量垂直于a和b向量構(gòu)成的平面。

常用于以下情況：

通過兩個(gè)向量的外積，生成第三個(gè)垂直于a，b的法向量，從而構(gòu)建X、Y、Z坐標(biāo)系；

當(dāng)a是單位向量時(shí)，計(jì)算b終點(diǎn)到a所在直線的距離；

在二維空間中，aXb等于由向量a和向量b構(gòu)成的平行四邊形的面積。

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