復(fù)數(shù)是數(shù)學(xué)中的一個(gè)概念，表示包含實(shí)數(shù)和虛數(shù)部分的數(shù)。復(fù)數(shù)以a+bi的形式表示，其中a為實(shí)數(shù)部分，b為虛數(shù)部分，i表示虛數(shù)單位。復(fù)數(shù)是復(fù)變函數(shù)論、解析數(shù)論、傅里葉分析、分形、流體力學(xué)、相對(duì)論、量子力學(xué)等學(xué)科中最基礎(chǔ)的對(duì)象和工具。

什么是復(fù)數(shù)

復(fù)數(shù)是形如a＋bi的數(shù)。式中a，b為實(shí)數(shù)，i是一個(gè)滿足i^2＝－1的數(shù)，因?yàn)槿魏螌?shí)數(shù)的平方不等于－1，所以i不是實(shí)數(shù)，而是實(shí)數(shù)以外的新的數(shù)。

在復(fù)數(shù)a＋bi中，a稱為復(fù)數(shù)的實(shí)部，b稱為復(fù)數(shù)的虛部，i稱為虛數(shù)單位。

當(dāng)虛部等于零時(shí)，這個(gè)復(fù)數(shù)就是實(shí)數(shù)；當(dāng)虛部不等于零時(shí)，這個(gè)復(fù)數(shù)稱為虛數(shù)，虛數(shù)的實(shí)部如果等于零，則稱為純虛數(shù)。由上可知，復(fù)數(shù)集包含了實(shí)數(shù)集，因而是實(shí)數(shù)集的擴(kuò)張。復(fù)數(shù)常用形式z＝a＋bi叫做代數(shù)式。

將復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部的平方和的正的平方根的值稱為該復(fù)數(shù)的模，記作∣z∣。設(shè)復(fù)數(shù)z=a+bi(a,b∈R)，則復(fù)數(shù)z的模|z|=√a2+b2，它的幾何意義是復(fù)平面上一點(diǎn)(a,b)到原點(diǎn)的距離。

什么是共軛復(fù)數(shù)

共軛復(fù)數(shù)，兩個(gè)實(shí)部相等，虛部互為相反數(shù)的復(fù)數(shù)互為共軛復(fù)數(shù)。當(dāng)虛部不為零時(shí)，共軛復(fù)數(shù)就是實(shí)部相等，虛部相反，如果虛部為零，其共軛復(fù)數(shù)就是自身。（當(dāng)虛部不等于0時(shí)也叫共軛虛數(shù)）復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)記作zˊ。同時(shí), 復(fù)數(shù)zˊ稱為復(fù)數(shù)z的復(fù)共軛。

共軛復(fù)數(shù)的性質(zhì)：

（1）︱x+yi︱=︱x-yi︱

（2）（x+yi）*（x-yi）=x2+y2=︱x+yi︱2=︱x-yi︱2

復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則

(1)加法運(yùn)算

設(shè)z1=a+bi，z2=c+di是任意兩個(gè)復(fù)數(shù)，它的實(shí)部是原來兩個(gè)復(fù)數(shù)實(shí)部的和，它的虛部是原來兩個(gè)虛部的和：(a+bi)±(c+di)=(a±c)+(b±d)i。

(2)乘法運(yùn)算

設(shè)z1=a+bi，z2=c+di是任意兩個(gè)復(fù)數(shù)，則：(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(bc+ad)i。

其實(shí)就是把兩個(gè)復(fù)數(shù)相乘，類似兩個(gè)多項(xiàng)式相乘，結(jié)果中i2=-1，把實(shí)部與虛部分別合并。兩個(gè)復(fù)數(shù)的積仍然是一個(gè)復(fù)數(shù)。

(3)除法運(yùn)算

復(fù)數(shù)除法定義：滿足(c+di)(x+yi)=(a+bi)的復(fù)數(shù)x+yi(x,y∈R)叫復(fù)數(shù)a+bi除以復(fù)數(shù)c+di的商。

運(yùn)算方法：可以把除法換算成乘法做，將分子分母同時(shí)乘上分母的共軛復(fù)數(shù)，再用乘法運(yùn)算。