特征值與秩的關(guān)系：如果矩陣可以對(duì)角化,那么非0特征值的個(gè)數(shù)就等于矩陣的秩;如果矩陣不可以對(duì)角化,這個(gè)結(jié)論就不一定成立。

矩陣特征值的定義

設(shè)A是n階方陣，如果數(shù)λ和n維非零列向量x使關(guān)系式Ax=λx成立，那么這樣的數(shù)λ稱為矩陣A特征值，非零向量x稱為A的對(duì)應(yīng)于特征值λ的特征向量。式Ax=λx也可寫成( A-λE)X=0。這是n個(gè)未知數(shù)n個(gè)方程的齊次線性方程組，它有非零解的充分必要條件是系數(shù)行列式| A-λE|=0。

設(shè)A是數(shù)域P上的一個(gè)n階矩陣，λ是一個(gè)未知量，

系數(shù)行列式|A-λE|稱為A的特征多項(xiàng)式，記|(λ)=|λE-A|，是一個(gè)P上的關(guān)于λ的n次多項(xiàng)式，E是單位矩陣。

|(λ)=|λE-A|=λn+a1λn-1+…+an= 0是一個(gè)n次代數(shù)方程，稱為A的特征方程。特征方程|(λ)=|λE-A|=0的根(如：λ0)稱為A的特征根(或特征值)。n次代數(shù)方程在復(fù)數(shù)域內(nèi)有且僅有n個(gè)根，而在實(shí)數(shù)域內(nèi)不一定有根，因此特征根的多少和有無，不僅與A有關(guān)，與數(shù)域P也有關(guān)。

秩的定理

定理：矩陣的行秩，列秩，秩都相等。

定理：初等變換不改變矩陣的秩。

定理：如果A可逆，則r(AB)=r(B),r(BA)=r(B)。

定理：矩陣的乘積的秩Rab<=min{Ra,Rb};

引理：設(shè)矩陣A=(aij)sxn的列秩等于A的列數(shù)n，則A的列秩，秩都等于n。

當(dāng)r(A)<=n-2時(shí)，最高階非零子式的階數(shù)<=n-2，任何n-1階子式均為零，而伴隨陣中的各元素就是n-1階子式再加上個(gè)正負(fù)號(hào)，所以伴隨陣為0矩陣。

當(dāng)r(A)<=n-1時(shí)，最高階非零子式的階數(shù)<=n-1，所以n-1階子式有可能不為零，所以伴隨陣有可能非零（等號(hào)成立時(shí)伴隨陣必為非零）