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實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值一定是實(shí)數(shù)嗎

2021-10-08 13:48:07文/李傲

是。實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值都是實(shí)數(shù)，特征向量都是實(shí)向量。實(shí)對(duì)稱矩陣的不同特征值對(duì)應(yīng)的特征向量是正交的。n階實(shí)對(duì)稱矩陣必可相似對(duì)角化，且相似對(duì)角陣上的元素即為矩陣本身特征值。

實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值一定是實(shí)數(shù)嗎

實(shí)對(duì)稱矩陣的含義

如果有n階矩陣A，其矩陣的元素都為實(shí)數(shù)，且矩陣A的轉(zhuǎn)置等于其本身（aij=aji），(i,j為元素的腳標(biāo)），則稱A為實(shí)對(duì)稱矩陣。

實(shí)對(duì)稱矩陣A一定可正交相似對(duì)角化。

n階實(shí)對(duì)稱矩陣A必可相似對(duì)角化，且相似對(duì)角陣上的元素即為矩陣本身特征值。

求矩陣的全部特征值和特征向量的方法

第一步：計(jì)算的特征多項(xiàng)式；

第二步：求出特征方程的全部根，即為的全部特征值；

第三步：對(duì)于的每一個(gè)特征值，求出齊次線性方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系，則的屬于特征值的全部特征向量是（其中是不全為零的任意實(shí)數(shù)）。

需要注意的是：若是的屬于的特征向量，則也是對(duì)應(yīng)于的特征向量，因而特征向量不能由特征值惟一確定。反之，不同特征值對(duì)應(yīng)的特征向量不會(huì)相等，亦即一個(gè)特征向量只能屬于一個(gè)特征值。

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