以P為切點的切線方程：y-f(a)=f'(a)(x-a)；若過P另有曲線C的切線，切點為Q(b,f(b))，則切線為y-f(a)=f'(b)(x-a)，也可y-f(b)=f'(b)(x-b)，并且[f(b)-f(a)]/(b-a)=f'(b)。

切線方程

切線方程是研究切線以及切線的斜率方程，涉及幾何、代數(shù)、物理向量、量子力學(xué)等內(nèi)容。是關(guān)于幾何圖形的切線坐標向量關(guān)系的研究。分析方法有向量法和解析法。

例題解析

Y=X2-2X-3在(0,3)的切線方程

解：因為點(0,3)處切線的斜率為函數(shù)在(0,3)的導(dǎo)數(shù)值，函數(shù)的倒數(shù)為：y=2x-2,

所以點(0,3)斜率為：k=2x-2=-2

所以切線方程為：y-3=-2(x-0)（點斜式）

即2x+y-3=0

所以y=x^2-2x-3在(0,3)的切線方程為2x+y-3=0。

常見切線方程證明過程

圓

若點M(x0,y0)在圓x^2+y^2+Dx+Ey+F=0上,，

則過點M的切線方程為

x0x+y0y+D*(x+x0)/2+E*(y+y0)/2+F=0

或表述為：

若點M(x0,y0)在圓(x-a)^2+(y-b)^2=r^2上，

則過點M的切線方程為

(x-a)(x0-a)+(y-b)(y0-b)=r^2

若已知點M(x0,y0)在圓(x-a)^2+(y-b)^2=r^2外，

則切點AB的直線方程也為

(x-a)(x0-a)+(y-b)(y0-b)=r^2

橢圓

若橢圓的方程為x^2/a^2+y^2/b^2=1,點P(x0，y0)在橢圓上，

則過點P橢圓的切線方程為

(x·x0)/a^2+(y·y0)/b^2=1.

證明：

橢圓為x^2/a^2+y^2/b^2=1,切點為(x0,y0),則x0^2/a^2+y0^2/b^2=1...(1)

對橢圓求導(dǎo)得y'=-b^2·x/a^2·y,即切線斜率k=-b^2·x0/a^2·y0,

故切線方程是y-y0=-b^2·x0/a^2·y0*(x-x0),將(1)代入并化簡得切線方程為x0·x/a^2+y0·y/b^2=1。

雙曲線

若雙曲線的方程為x^2/a^2-y^2/b^2=1,點P(x0，y0)在雙曲線上，

則過點P雙曲線的切線方程為

(x·x0)/a^2-(y·y0)/b^2=1..

此命題的證明方法與橢圓的類似，故此處略之。