證明函數(shù)有界的步驟：證明有界的思路是：存在一個正數(shù)M，使對所有x，滿足|f(x)|<M。證明無界的思路是：對任意正數(shù)M，總存在x，使得|f(x)|>M。

步驟思路

證明有界的思路是：存在一個正數(shù)M，使對所有x，滿足|f(x)|<M。

證明無界的思路是：對任意正數(shù)M，總存在x，使得|f(x)|>M。

若存在兩個A和B，對一切x∈Df恒有A≤f（x）≤B，則稱函數(shù)y=f（x）在Df內(nèi)是有界函數(shù)，否則為無界函數(shù)。

f（x）=1/（1+x2）

x→0f（x）→1

x→∞f（x）→0

0≤f（x）≤1所以函數(shù)y=f（x）在Df內(nèi)是有界函數(shù)。

證明方法

1.理論法：若f(x)在定義域[a,b]上連續(xù)，或者放寬到常義可積（有限個第一類間斷點(diǎn)），則f(x)在[a,b]上必然有界。

2.計算法：切分(a,b)內(nèi)連續(xù)

limx→a+f(x)存在limx→a+f(x)存在；limx→b?f(x)存在limx→b?f(x)存在則f(x)在定義域[a,b]內(nèi)有界。

3.運(yùn)算規(guī)則判定：在邊界極限不存在時

有界函數(shù)±有界函數(shù)=有界函數(shù)（有限個，基本不會有無窮個，無窮是個難分高低的狀態(tài)）

有界*有界=有界

注意事項(xiàng)

1、函數(shù)在某區(qū)間上，要么有界要么無界，二者必屬其一；

2、從幾何學(xué)的角度很容易判別一個函數(shù)是否有界．如果找不到兩條與x軸平行的直線使得函數(shù)的圖形介于它們之間，那么函數(shù)一定是無界的。

一般來說，連續(xù)函數(shù)在閉區(qū)間具有有界性。例如：y=x+6在[1，2]上有最小值7，最大值8，所以說它的函數(shù)值在7和8之間變化，是有界的，所以具有有界性。但正切函數(shù)在有意義區(qū)間，比如(-π/2，π/2)內(nèi)則無界。

sinx，cosx，sin(1/x），cos（1/x），arcsinx，arccosx，arctanx，arccotx是常見的有界函數(shù)。