判定定理闡述：當一個平面包含另一平面的垂線時,這兩個平面呈現相互垂直的狀態(tài)。由此可得推論：其一,若一個平面的垂線與另一個平面平行,則這兩個平面相互垂直；其二,如果兩個平面的垂線相互垂直,那么這兩個平面也互相垂直。（此推論可理解為法向量垂直的平面必然互相垂直）

面面垂直性質定理

首先,如果兩個平面垂直,那么在一個平面內,任何垂直于兩平面交線的直線都將與另一個平面垂直。

其次,若兩個平面垂直,則在第一個平面內任選一點,向第二個平面所作的垂線,必定完全位于第一個平面內。

最后,當兩個平面垂直時,除了它們的交線,這兩個平面內的任意兩條直線都將互相垂直。

面面垂直定理證明

證明過程如下：任意兩個平面的位置關系要么是相交,要么是平行。假設平面a垂直于平面β,且垂足為點P,那么點P必然屬于平面β。

由于直線a完全位于平面α內,且點P屬于直線a,因此點P也屬于平面α。

這意味著平面α和平面β有公共點P,所以平面α與平面β相交。

設平面α與平面β的交線為b,因為點P是平面α和平面β的公共點,所以點P也屬于直線b。

在平面β內,通過點P作直線c垂直于直線b。

由于直線b完全位于平面β內,且直線a垂直于平面β,因此直線a也垂直于直線b,且垂足為點P。

同時,直線c也垂直于直線b,且垂足同樣為點P。

因此,∠aPc構成了二面角α-b-β的平面角。

由于直線c完全位于平面β內,直線a垂直于直線c,即∠aPc等于90°。

根據面面垂直的定義,我們可以得出平面α垂直于平面β。