數(shù)列求和對按照一定規(guī)律排列的數(shù)進行求和。常見的方法有公式法、錯位相減法、倒序相加法、分組法、裂項法、數(shù)學(xué)歸納法、通項化歸、并項求和。數(shù)列是高中代數(shù)的重要內(nèi)容，又是學(xué)習高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)。在高考和各種數(shù)學(xué)競賽中都占有重要的地位。數(shù)列求和是數(shù)列的重要內(nèi)容之一，下面高三網(wǎng)小編就為同學(xué)們分享一些等差數(shù)列求和公式證明推導(dǎo)，供參考。

1.等差數(shù)列

等差數(shù)列是常見數(shù)列的一種，如果一個數(shù)列從第二項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數(shù)，這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列，而這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，公差常用字母d表示。

通項公式為：an=a1+(n-1)*d。首項a1=1，公差d=2。

前n項和公式為：Sn=a1*n+[n*(n-1)*d]/2或Sn=[n*(a1+an)]/2。

注意：以上n均屬于正整數(shù)。

2.求和公式

若一個等差數(shù)列的首項為a1，末項為an那么該等差數(shù)列和表達式為：

S=(a1+an)n÷2

即(首項+末項)×項數(shù)÷2

前n項和公式

注意：n是正整數(shù)(相當于n個等差中項之和)

等差數(shù)列前N項求和，實際就是梯形公式的妙用：

上底為：a1首項，下底為a1+(n-1)d，高為n。

即[a1+a1+(n-1)d]*n/2={a1n+n(n-1)d}/2。

Sn=n*a1+{n*(n-1)}/2*d

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3.等差數(shù)列求和公式證明推導(dǎo)

一。從通項公式可以看出，a(n)是n的一次函數(shù)(d≠0)或常數(shù)函數(shù)(d=0)，(n，an)排在一條直線上，由前n項和公式知，S(n)是n的二次函數(shù)(d≠0)或一次函數(shù)(d=0，a1≠0)，且常數(shù)項為0。

二。從等差數(shù)列的定義、通項公式，前n項和公式還可推出：a(1)+a(n)=a(2)+a(n-1)=a(3)+a(n-2)=…

=a(k)+a(n-k+1)，(類似：p(1)+p(n)=p(2)+p(n-1)=p(3)+p(n-2)=。。。=p(k)+p(n-k+1))，k∈{1,2,…,n}

三。若m，n，p，q∈N*，且m+n=p+q，則有a(m)+a(n)=a(p)+a(q)，S(2n-1)=(2n-1)*a(n)，S(2n+1)=

(2n+1)*a(n+1)，S(k)，S(2k)-S(k)，S(3k)-S(2k)，…，S(n)*k-S(n-1)*k…成等差數(shù)列，等等。

若m+n=2p,則a(m)+a(n)=2*a(p)

(對3的證明：p(m)+p(n)=b(0)+b(1)*m+b(0)+b(1)*n=2*b(0)+b(1)*(m+n)

p(p)+p(q)=b(0)+b(1)*p+b(0)+b(1)*q=2*b(0)+b(1)*(p+q);因為m+n=p+q，所以p(m)+p(n)=p(p)+p

(q))

其他推論

①和=(首項+末項)×項數(shù)÷2

(證明：s(n)=[n,n^2]*[1,1/2;0,1/2]*[b(0);b(1)]=n*b0+1/2*b1*n+1/2*b1*n^2

(p(1)+p(n))*n/2=(b(0)+b(1)+b(0)+b(1)*n)*n/2=n*b0+1/2*b1*n+1/2*b1*n^2=s(n))

證明原理見高斯算法

項數(shù)=(末項-首項)÷公差+1

(證明：(p(n)-p(1))/b(1)+1=(b(0)+b(1)*n-(b(0)+b(1)))/b(1)+1=(b(1)*(n-1))/b(1)+1=n-1+1=n)

②首項=2x和÷項數(shù)-末項或末項-公差×(項數(shù)-1)

③末項=2x和÷項數(shù)-首項

(以上2項為第一個推論的轉(zhuǎn)換)

④末項=首項+(項數(shù)-1)×公差

(上一項為第二個推論的轉(zhuǎn)換)

推論3證明

若m，n，p，q∈N*，且m+n=p+q，則有a(m)+a(n)=a(p)

+a(q)

如a(m)+a(n)=a(1)+(m-1)*d+a(1)+(n-1)*d

=2*a(1)+(m+n-2)*d

同理得，

a(p)+a(q)=2*a(1)+(p+q-2)*d

又因為

m+n=p+q;

a(1),d均為常數(shù)

所以

若m，n，p，q∈N*，且m+n=p+q，則有a(m)+a(n)=a(p)+a(q)

若m，n，p∈N*，且m+n=2p，則有a(m)+a(n)=2a(p)

注：1。常數(shù)列不一定成立

2。m,p,q,n屬于自然數(shù)

⑤2(前2n項和-前n項和)=前n項和+前3n項和-前2n項和

以上就是高三網(wǎng)小編整理的等差數(shù)列求和公式證明推導(dǎo)，希望這些正弦余弦定理知識對你們有幫助的。

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