全微分存在偏導(dǎo)數(shù)一定存在嗎

2022-01-13 14:31:57文/李傲

不一定。全微分存在是偏導(dǎo)連續(xù)的必要不充分條件，函數(shù)連續(xù)是偏導(dǎo)存在的既不充分也不必要條件，函數(shù)連續(xù)是全微分存在的必要不充分條件，偏導(dǎo)存在是全微分存在的必要不充分條件，偏導(dǎo)存在是偏導(dǎo)連續(xù)的必要不充分條件。

x方向的偏導(dǎo)：

設(shè)有二元函數(shù)z=f(x,y)，點(diǎn)(x0,y0)是其定義域D內(nèi)一點(diǎn)。把y固定在y0而讓x在x0有增量△x，相應(yīng)地函數(shù)z=f(x,y)有增量(稱為對(duì)x的偏增量)△z=f(x0+△x,y0)-f(x0,y0)。

如果△z與△x之比當(dāng)△x→0時(shí)的極限存在，那么此極限值稱為函數(shù)z=f(x,y)在(x0,y0)處對(duì)x的偏導(dǎo)數(shù)，記作f'x(x0,y0)或。函數(shù)z=f(x,y)在(x0,y0)處對(duì)x的偏導(dǎo)數(shù)，實(shí)際上就是把y固定在y0看成常數(shù)后，一元函數(shù)z=f(x,y0)在x0處的導(dǎo)數(shù)。

y方向的偏導(dǎo)：

同樣，把x固定在x0，讓y有增量△y，如果極限存在那么此極限稱為函數(shù)z=(x,y)在(x0,y0)處對(duì)y的偏導(dǎo)數(shù)。記作f'y(x0,y0)。

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