不等式組平面區(qū)域畫法

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簡單線性規(guī)劃問題是高考必考知識點，而其基礎(chǔ)在于研究二元一次不等式（組）所對應(yīng)的平面區(qū)域．下面介紹一些方法來快速準確地確定二元一次不等式（組）所表示的平面區(qū)域。

知識點總結(jié)

常見考法

  本節(jié)在段考中，主要是以選擇題和填空題的形式考查二元一次不等式組合簡單的線性規(guī)劃問題的基礎(chǔ)知識，以解答題的形式考查簡單的線性規(guī)劃問題的應(yīng)用。在高考中各種題型都有出現(xiàn)，主要是考查簡單的線性規(guī)劃問題。

誤區(qū)提醒

  1、畫不等式對應(yīng)的平面區(qū)域時，有時容易邊界問題。有等號，要把邊界畫成實線，沒有等號，要把邊界畫成虛線。

  2、注意不要列錯了線性約束條件。

方法一：直線定界，特殊點定域

找出一個二元一次不等式（組）在平面直角坐標系內(nèi)所表示的平面區(qū)域的基本方法是：

①畫直線②取特殊點③代值定域④求公共部分

①畫直線──作出各不等式對應(yīng)方程表示的直線（原不等式帶等號的作實線，否則作虛線）；

②取特殊點──平面直角坐標系內(nèi)的直線要么過原點，要么不過原點；當直線過原點時我們選取特殊點或（坐標軸上的點），當直線不過原點時我們選取原點做特殊點；

③代值定域──將選取的特殊點代入所給不等式：如果不等式成立，則不等式所表示的平面區(qū)域就是該特殊點所在的區(qū)域；如果不等式不成立，則不等式所表示的平面區(qū)域就是該特殊點所在區(qū)域的另一邊．

④求公共部分──不等式組所確定的平面區(qū)域，是各個二元一次不等式所表示平面區(qū)域的公共部分．

例1　畫出不等式組所表示的平面區(qū)域．

解析：①畫直線：不等式對應(yīng)的直線方程是；不等式對應(yīng)的直線方程是；在平面直角坐標系中作出直線與（如圖）．

②取特殊點：直線過原點，可取特殊點；直線不過原點，可取特殊點．

③將代入，即，不等式不成立，直線另一側(cè)區(qū)域就是不等式所表示的平面區(qū)域；將代入，即，不等式成立，則原點所在區(qū)域就是不等式所表示的平面區(qū)域．（圖一）

④求公共部分：如圖二所示公共部分就是不等式組所表示的平面區(qū)域．

方法二：法向量判定法

由平面解析幾何知識知道直線（不同時為0）的一個法向量為．以坐標原點作為法向量的始點，可以利用向量內(nèi)積證明如下結(jié)論：

（1）不等式（），不等式表示的平面區(qū)域就是法向量指向的區(qū)域；（大于同向）

（2）不等式（），不等式表示的平面區(qū)域就是法向量反向的區(qū)域；（小于反向）

例2　畫出不等式組所表示的平面區(qū)域．

解析：①不等式對應(yīng)的直線方程是，法向量；不等式對應(yīng)的直線方程是，法向量；在平面直角坐標系中作出直線與及其相應(yīng)的法向量（如圖）．

②由于不等式（），平面區(qū)域是法向量指向的區(qū)域（圖一）；不等式（），平面區(qū)域是法向量反向的區(qū)域（圖二）．

 ③然后求的公共部分就是不等式組所表示的平面區(qū)域．

方法三：未知數(shù)系數(shù)化正法

直線（不同時為0）含有兩個未知數(shù)，于是我們可以將未知數(shù)的系數(shù)分為兩類：項系數(shù)與項系數(shù)來研究．

（1）項系數(shù)化正法：顧名思義就是利用不等式性質(zhì)，不等號兩邊同時（移項）將項系數(shù)化為正值，然后根據(jù)變形后關(guān)于的不等式中的不等號來確定區(qū)域位置（規(guī)定：軸正方向所指的區(qū)域為直線的上方；反之為下方）有結(jié)論：

項系數(shù)正值化：上；下．

例3　畫出不等式組所表示的平面區(qū)域．

解析：①不等式對應(yīng)的直線方程是；不等式對應(yīng)的直線方程是；在平面直角坐標系中作出直線與（如圖）．

②將不等式組中每個不等式項系數(shù)正值化，得或（移項）．

③關(guān)于的不等式（）即（或者），直線上方的區(qū)域就是該不等式所表示的平面區(qū)域（圖一）；關(guān)于的不等式（）即，直線下方的區(qū)域就是該不等式所表示的平面區(qū)域（圖二）．

④然后求的公共部分就是不等式組所表示的平面區(qū)域．

（2）項系數(shù)化正法：同（1）一樣，不等號兩邊同時（或移項）將項系數(shù)化為正值，然后根據(jù)變形后關(guān)于的不等式中的不等號來確定區(qū)域位置（規(guī)定：軸正方向所指的區(qū)域為直線的右方；反之為左方）有結(jié)論：

項系數(shù)正值化：右；左．

可結(jié)合例3來對項系數(shù)化正法進行理解．

上述方法中，方法一是尋找二元一次不等式所表示的平面區(qū)域的常規(guī)方法，思維回路較長，適合對理論的學(xué)習(xí)，但要快速準確地解決簡單的線性規(guī)劃問題就必須掌握方法二或方法三中之一．