復(fù)數(shù)

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考試內(nèi)容：復(fù)數(shù)的概念；復(fù)數(shù)的加法和減法；復(fù)數(shù)的乘法和除法；數(shù)系的擴(kuò)充。

復(fù)數(shù)知識(shí)要點(diǎn)：復(fù)數(shù)是高中代數(shù)的重要內(nèi)容，在高考試題中約占8%-10%，一般的出一道基礎(chǔ)題和一道中檔題，經(jīng)常與三角、解析幾何、方程、不等式等知識(shí)綜合.本章主要內(nèi)容是復(fù)數(shù)的概念，復(fù)數(shù)的代數(shù)、幾何、三角表示方法以及復(fù)數(shù)的運(yùn)算.方程、方程組，數(shù)形結(jié)合，分域討論，等價(jià)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想與方法在本章中有突出的體現(xiàn).而復(fù)數(shù)是代數(shù)，三角，解析幾何知識(shí)，相互轉(zhuǎn)化的樞紐，這對(duì)拓寬學(xué)生思路，提高學(xué)生解綜合習(xí)題能力是有益的.數(shù)、式的運(yùn)算和解方程，方程組，不等式是學(xué)好本章必須具有的基本技能.簡(jiǎn)化運(yùn)算的意識(shí)也應(yīng)進(jìn)一步加強(qiáng).

1.知識(shí)網(wǎng)絡(luò)圖

　　2.復(fù)數(shù)中的難點(diǎn)

　　(1)復(fù)數(shù)的向量表示法的運(yùn)算.對(duì)于復(fù)數(shù)的向量表示有些學(xué)生掌握得不好，對(duì)向量的運(yùn)算的幾何意義的靈活掌握有一定的困難.對(duì)此應(yīng)認(rèn)真體會(huì)復(fù)數(shù)向量運(yùn)算的幾何意義，對(duì)其靈活地加以證明.

　　(2)復(fù)數(shù)三角形式的乘方和開(kāi)方.有部分學(xué)生對(duì)運(yùn)算法則知道，但對(duì)其靈活地運(yùn)用有一定的困難，特別是開(kāi)方運(yùn)算，應(yīng)對(duì)此認(rèn)真地加以訓(xùn)練.

　　(3)復(fù)數(shù)的輻角主值的求法.

　　(4)利用復(fù)數(shù)的幾何意義靈活地解決問(wèn)題.復(fù)數(shù)可以用向量表示，同時(shí)復(fù)數(shù)的模和輻角都具有幾何意義，對(duì)他們的理解和應(yīng)用有一定難度，應(yīng)認(rèn)真加以體會(huì).

　　3.復(fù)數(shù)中的重點(diǎn)

　　(1)理解好復(fù)數(shù)的概念，弄清實(shí)數(shù)、虛數(shù)、純虛數(shù)的不同點(diǎn).

　　(2)熟練掌握復(fù)數(shù)三種表示法，以及它們間的互化，并能準(zhǔn)確地求出復(fù)數(shù)的模和輻角.復(fù)數(shù)有代數(shù)，向量和三角三種表示法.特別是代數(shù)形式和三角形式的互化，以及求復(fù)數(shù)的模和輻角在解決具體問(wèn)題時(shí)經(jīng)常用到，是一個(gè)重點(diǎn)內(nèi)容.

　　(3)復(fù)數(shù)的三種表示法的各種運(yùn)算，在運(yùn)算中重視共軛復(fù)數(shù)以及模的有關(guān)性質(zhì).復(fù)數(shù)的運(yùn)算是復(fù)數(shù)中的主要內(nèi)容，掌握復(fù)數(shù)各種形式的運(yùn)算，特別是復(fù)數(shù)運(yùn)算的幾何意義更是重點(diǎn)內(nèi)容.

　　(4)復(fù)數(shù)集中一元二次方程和二項(xiàng)方程的解法.

4. ⑴復(fù)數(shù)的單位為i，它的平方等于－1，即.

⑵復(fù)數(shù)及其相關(guān)概念：

①   復(fù)數(shù)—形如a + bi的數(shù)（其中）；

②   實(shí)數(shù)—當(dāng)b = 0時(shí)的復(fù)數(shù)a + bi，即a；

③   虛數(shù)—當(dāng)時(shí)的復(fù)數(shù)a + bi；

④   純虛數(shù)—當(dāng)a = 0且時(shí)的復(fù)數(shù)a + bi，即bi.

⑤   復(fù)數(shù)a + bi的實(shí)部與虛部—a叫做復(fù)數(shù)的實(shí)部，b叫做虛部（注意a，b都是實(shí)數(shù)）

⑥   復(fù)數(shù)集C—全體復(fù)數(shù)的集合，一般用字母C表示.

⑶兩個(gè)復(fù)數(shù)相等的定義：

.

⑷兩個(gè)復(fù)數(shù)，如果不全是實(shí)數(shù)，就不能比較大小.

注：①若為復(fù)數(shù)，則若，則.（×）[為復(fù)數(shù)，而不是實(shí)數(shù)]

若，則.（√）

②若，則是的必要不充分條件.（當(dāng)，

時(shí)，上式成立）

5. ⑴復(fù)平面內(nèi)的兩點(diǎn)間距離公式：.

其中是復(fù)平面內(nèi)的兩點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)，間的距離.

由上可得：復(fù)平面內(nèi)以為圓心，為半徑的圓的復(fù)數(shù)方程：.

⑵曲線方程的復(fù)數(shù)形式：

①為圓心，r為半徑的圓的方程.

②表示線段的垂直平分線的方程.

③為焦點(diǎn)，長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為a的橢圓的方程（若，此方程表示線段）.

④表示以為焦點(diǎn)，實(shí)半軸長(zhǎng)為a的雙曲線方程（若，此方程表示兩條射線）.

⑶絕對(duì)值不等式：

設(shè)是不等于零的復(fù)數(shù)，則

①.

左邊取等號(hào)的條件是，右邊取等號(hào)的條件是.

②.

左邊取等號(hào)的條件是，右邊取等號(hào)的條件是.

注：.

6. 共軛復(fù)數(shù)的性質(zhì)：

??????????????????????????????????????????

，（a + bi）??????????????

?????????????????????????????????

（）?????????????????????????????

注：兩個(gè)共軛復(fù)數(shù)之差是純虛數(shù). （×）[之差可能為零，此時(shí)兩個(gè)復(fù)數(shù)是相等的]

7 ⑴①?gòu)?fù)數(shù)的乘方：

②對(duì)任何，及有

③?

注：①以上結(jié)論不能拓展到分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式，否則會(huì)得到荒謬的結(jié)果，如若由就會(huì)得到的錯(cuò)誤結(jié)論.

②在實(shí)數(shù)集成立的. 當(dāng)為虛數(shù)時(shí)，，所以復(fù)數(shù)集內(nèi)解方程不能采用兩邊平方法.

⑵常用的結(jié)論：

???

若是1的立方虛數(shù)根，即，則????????????????????????????????????????????????? .

8.? ⑴復(fù)數(shù)是實(shí)數(shù)及純虛數(shù)的充要條件：

①.

②若，是純虛數(shù).

⑵模相等且方向相同的向量，不管它的起點(diǎn)在哪里，都認(rèn)為是相等的，而相等的向量表示同一復(fù)數(shù). 特例：零向量的方向是任意的，其模為零.

注：.

9. ⑴復(fù)數(shù)的三角形式：.

輻角主值：適合于0≤＜的值，記作.

注：①為零時(shí)，可取內(nèi)任意值.

②輻角是多值的，都相差2的整數(shù)倍.

③設(shè)則.

⑵復(fù)數(shù)的代數(shù)形式與三角形式的互化：

，，.

⑶幾類(lèi)三角式的標(biāo)準(zhǔn)形式：

10. 復(fù)數(shù)集中解一元二次方程：

在復(fù)數(shù)集內(nèi)解關(guān)于的一元二次方程時(shí)，應(yīng)注意下述問(wèn)題：

①當(dāng)時(shí)，若＞0，則有二不等實(shí)數(shù)根；若=0，則有二相等實(shí)數(shù)根；若＜0，則有二相等復(fù)數(shù)根（為共軛復(fù)數(shù)）.

②當(dāng)不全為實(shí)數(shù)時(shí)，不能用方程根的情況.

③不論為何復(fù)數(shù)，都可用求根公式求根，并且韋達(dá)定理也成立.

11. 復(fù)數(shù)的三角形式運(yùn)算：

棣莫弗定理：