收斂與發(fā)散判斷方法：當(dāng)n無窮大時,判斷Xn是否是常數(shù),是常數(shù)則收斂，加減的時候,把高階的無窮小直接舍去，乘除的時候，用比較簡單的等價無窮小來代替原來復(fù)雜的無窮小來代。

判斷函數(shù)和數(shù)列是否收斂或者發(fā)散

1、設(shè)數(shù)列{Xn}，如果存在常數(shù)a，對于任意給定的正數(shù)q（無論多小），總存在正整數(shù)N，使得n>N時，恒有|Xn-a|<q成立，就稱數(shù)列{Xn}收斂于a（極限為a），即數(shù)列{Xn}為收斂。

2、求數(shù)列的極限，如果數(shù)列項(xiàng)數(shù)n趨于無窮時，數(shù)列的極限能一直趨近于實(shí)數(shù)a，那么這個數(shù)列就是收斂的；如果找不到實(shí)數(shù)a，這個數(shù)列就是發(fā)散的?？磏趨向無窮大時,Xn是否趨向一個常數(shù),可是有時Xn比較復(fù)雜,并不好觀察。這種是最常用的判別法是單調(diào)有界既收斂。

3、加減的時候,把高階的無窮小直接舍去如1+1/n,用1來代替乘除的時候,用比較簡單的等價無窮小來代替原來復(fù)雜的無窮小來如1/n*sin(1/n)用1/n^2來代替。

4、收斂數(shù)列的極限是唯一的，且該數(shù)列一定有界，還有保號性，與子數(shù)列的關(guān)系一致。不符合以上任何一個條件的數(shù)列是發(fā)散數(shù)列。另外還有達(dá)朗貝爾收斂準(zhǔn)則,柯西收斂準(zhǔn)則,根式判斂法等判斷收斂性。

收斂數(shù)列相互關(guān)系

收斂數(shù)列與其子數(shù)列間的關(guān)系

子數(shù)列也是收斂數(shù)列且極限為a恒有|Xn|<M

若已知一個子數(shù)列發(fā)散，或有兩個子數(shù)列收斂于不同的極限值，可斷定原數(shù)列是發(fā)散的。

如果數(shù)列{X_n}收斂于a，那么它的任一子數(shù)列也收斂于a。