(-1)^n/n收斂?！?-1)^n·1/n本身是收斂的,這可由萊布尼茨判別法得到：an=1/n是一個(gè)單調(diào)遞減的數(shù)列;an的極限為0;然而,其通項(xiàng)的絕對值組成的級數(shù)卻是發(fā)散的。

定義方式與數(shù)列收斂類似。柯西收斂準(zhǔn)則：關(guān)于函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處的收斂定義。對于任意實(shí)數(shù)b>0,存在c>0,對任意x1,x2滿足0<|x1-x0|<c,0<|x2-x0|<c,有|f(x1)-f(x2)|<b。

收斂的定義方式很好的體現(xiàn)了數(shù)學(xué)分析的精神實(shí)質(zhì)。

如果給定一個(gè)定義在區(qū)間i上的函數(shù)列，u1(x）， u2（x） ，u3（x）……至un（x）……. 則由這函數(shù)列構(gòu)成的表達(dá)式u1（x）+u2（x）+u3（x）+……+un（x）+……⑴稱為定義在區(qū)間i上的（函數(shù)項(xiàng)）無窮級數(shù)，簡稱（函數(shù)項(xiàng)）級數(shù)

對于每一個(gè)確定的值X0∈I,函數(shù)項(xiàng)級數(shù) ⑴ 成為常數(shù)項(xiàng)級數(shù)u1（x0）+u2（x0）+u3（x0）+……+un（x0）+.... （2） 這個(gè)級數(shù)可能收斂也可能發(fā)散。如果級數(shù)（2）發(fā)散，就稱點(diǎn)x0是函數(shù)項(xiàng)級數(shù)（1）的發(fā)散點(diǎn)。函數(shù)項(xiàng)級數(shù)（1）的收斂點(diǎn)的全體稱為他的收斂域 ，發(fā)散點(diǎn)的全體稱為他的發(fā)散域 對應(yīng)于收斂域內(nèi)任意一個(gè)數(shù)x，函數(shù)項(xiàng)級數(shù)稱為一收斂的常數(shù)項(xiàng) 級數(shù) ，因而有一確定的和s。這樣，在收斂域上 ，函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的和是x的函數(shù)S（x），通常稱s（x）為函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的和函數(shù)，這函數(shù)的定義域就是級數(shù)的收斂域，并寫成S（x）=u1（x）+u2（x）+u3（x）+……+un（x）+……把函數(shù)項(xiàng)級數(shù) ⑴ 的前n項(xiàng)部分和 記作Sn(x)，則在收斂域上有l(wèi)im n→∞Sn(x)=S(x)

記rn(x)=S(x)-Sn(x),rn(x)叫作函數(shù)級數(shù)項(xiàng)的余項(xiàng) （當(dāng)然，只有x在收斂域上rn（x）才有意義，并有l(wèi)im n→∞r(nóng)n (x)=0