收斂。(-1)^n/n是交錯(cuò)級(jí)數(shù)，由萊布尼茨判別法知收斂。收斂是研究函數(shù)的一個(gè)重要工具，是指會(huì)聚于一點(diǎn)，向某一值靠近。收斂類型有收斂數(shù)列、函數(shù)收斂、全局收斂、局部收斂。

收斂數(shù)列

令{an}為一個(gè)數(shù)列，且A為一個(gè)固定的實(shí)數(shù)，如果對(duì)于任意給出的b>0,存在一個(gè)正整數(shù)N，使得對(duì)于任意n>N,有|an-A|<b恒成立，就稱數(shù)列{an}收斂于A（極限為A），即數(shù)列{an}為收斂數(shù)列。

函數(shù)收斂

定義方式與數(shù)列收斂類似?？挛魇諗繙?zhǔn)則：關(guān)于函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處的收斂定義。對(duì)于任意實(shí)數(shù)b>0,存在c>0,對(duì)任意x1,x2滿足0<|x1-x0|<c,0<|x2-x0|<c,有|f(x1)-f(x2)|<b。

收斂的定義方式很好的體現(xiàn)了數(shù)學(xué)分析的精神實(shí)質(zhì)。

如果給定一個(gè)定義在區(qū)間i上的函數(shù)列，u1(x）， u2（x） ，u3（x）……至un（x）……. 則由這函數(shù)列構(gòu)成的表達(dá)式u1（x）+u2（x）+u3（x）+……+un（x）+……⑴稱為定義在區(qū)間i上的（函數(shù)項(xiàng)）無窮級(jí)數(shù)，簡稱（函數(shù)項(xiàng)）級(jí)數(shù)

對(duì)于每一個(gè)確定的值X0∈I,函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) ⑴ 成為常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)u1（x0）+u2（x0）+u3（x0）+……+un（x0）+.... （2） 這個(gè)級(jí)數(shù)可能收斂也可能發(fā)散。如果級(jí)數(shù)（2）發(fā)散，就稱點(diǎn)x0是函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)（1）的發(fā)散點(diǎn)。函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)（1）的收斂點(diǎn)的全體稱為他的收斂域 ，發(fā)散點(diǎn)的全體稱為他的發(fā)散域 對(duì)應(yīng)于收斂域內(nèi)任意一個(gè)數(shù)x，函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)稱為一收斂的常數(shù)項(xiàng) 級(jí)數(shù) ，因而有一確定的和s。這樣，在收斂域上 ，函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和是x的函數(shù)S（x），通常稱s（x）為函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和函數(shù)，這函數(shù)的定義域就是級(jí)數(shù)的收斂域，并寫成S（x）=u1（x）+u2（x）+u3（x）+……+un（x）+……把函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) ⑴ 的前n項(xiàng)部分和 記作Sn(x)，則在收斂域上有l(wèi)im n→∞Sn(x)=S(x)

記rn(x)=S(x)-Sn(x),rn(x)叫作函數(shù)級(jí)數(shù)項(xiàng)的余項(xiàng) （當(dāng)然，只有x在收斂域上rn（x）才有意義，并有l(wèi)im n→∞r(nóng)n (x)=0

數(shù)學(xué)分析術(shù)語發(fā)散

在數(shù)學(xué)分析中，與收斂相對(duì)的概念就是發(fā)散。發(fā)散級(jí)數(shù)指（按柯西意義下）不收斂的級(jí)數(shù)。如級(jí)數(shù)1+2+3+4+……和1-1+1-1+……，也就是說該級(jí)數(shù)的部分和序列沒有一個(gè)有窮極限。

如果一個(gè)級(jí)數(shù)是收斂的，這個(gè)級(jí)數(shù)的項(xiàng)一定會(huì)趨于零。因此，任何一個(gè)項(xiàng)不趨于零的級(jí)數(shù)都是發(fā)散的。不過，收斂是比這更強(qiáng)的要求：不是每個(gè)項(xiàng)趨于零的級(jí)數(shù)都收斂。其中一個(gè)反例是調(diào)和級(jí)數(shù)。