絕對(duì)值定義為數(shù)軸上某點(diǎn)至原點(diǎn)的距離,用符號(hào)“| |”表示。|b-a|或|a-b|則代表數(shù)軸上a點(diǎn)與b點(diǎn)之間的距離。絕對(duì)值不等式的基本公式表達(dá)為：||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|。

數(shù)a的絕對(duì)值,即|a|,指的是數(shù)軸上a點(diǎn)到原點(diǎn)的距離。

同樣,|b-a|或|a-b|描述的是數(shù)軸上a點(diǎn)與b點(diǎn)之間的距離。

當(dāng)a和b同號(hào)時(shí),它們位于數(shù)軸原點(diǎn)的同一側(cè),此時(shí)a與-b的距離等于它們各自到原點(diǎn)的距離之和。

若a和b異號(hào),則它們分別位于數(shù)軸原點(diǎn)的兩側(cè),此時(shí)a與-b的距離小于它們到原點(diǎn)的距離之和。（|a-b|既表示a-b與原點(diǎn)的距離,也表示a與b之間的距離）。

絕對(duì)值重要不等式的推導(dǎo)過(guò)程：

已知|x|的定義為：x,(x>0)；0,(x=0)；-x,(x<0)。

由此可得以下不等式：

-|a|≤a≤|a|......①

-|b|≤b≤|b|......②

-|b|≤-b≤|b|......③

結(jié)合①和②,我們得到：

-(|a|+|b|)≤a+b≤|a|+|b|,

即|a+b|≤|a|+|b|......④

結(jié)合①和③,可以推導(dǎo)出：

-(|a|+|b|)≤a-b≤|a|+|b|,

即|a-b|≤|a|+|b|......⑤

另外,我們有：

|a|=|(a+b)-b|=|(a-b)+b|,

|b|=|(b+a)-a|=|(b-a)+a|。

根據(jù)④,我們可以進(jìn)一步得到：

|a|=|(a+b)-b|≤|a+b|+|-b|,從而|a|-|b|≤|a+b|.......⑥

|b|=|(b+a)-a|≤|b+a|+|-a|,從而|a|-|b|≥-|a+b|.......⑦

|a|=|(a-b)+b|≤|a-b|+|b|,從而|a|-|b|≤|a-b|.......⑧

|b|=|(b-a)+a|≤|b-a|+|a|,從而|a|-|b|≥-|a-b|.......⑨

由⑥和⑦,我們可以得出：

| |a|-|b| |≤|a+b|......⑩

由⑧和⑨,我們可以得出：

| |a|-|b| |≤|a-b|......?

綜合④⑤⑩?,我們得到關(guān)于絕對(duì)值的重要不等式：|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|。

需要注意的是,等號(hào)成立的條件（尤其在求最值時(shí)）為：

|a-b|=|a|+|b|,當(dāng)且僅當(dāng)ab≤0,

|a|-|b|=|a+b|,當(dāng)且僅當(dāng)b(a+b)≤0,

|a|-|b|=|a-b|,當(dāng)且僅當(dāng)b(a-b)≥0。

注：|a|-|b|=|a+b|可推導(dǎo)為|a|=|a+b|+|b|,進(jìn)一步得到|（a+b）-b|=|a+b|+|b|,從而b(a+b)≤0。

同理,|a|-|b|=|a-b|可推導(dǎo)為b(a-b)≥0。