2023 年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學

本試卷共 4 頁，22 小題，滿分 150 分。考試用時120 分鐘

注意事項:

1.答卷前，考生務必用黑色字跡筆或簽字筆將自己的姓名、考生號、考場號和座位號填寫在答卡上用

2 筆試(A)在答卡相應位置上。將條形碼橫貼在答題卡右上角“條形碼粘貼處”。作答選擇題時，選出每小題等案后，用 2B 筆把答卡上對應題目選項的答案信息點涂黑:如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案，答案不能答在試卷上。

3.非選擇題必須用黑色字跡鋼筆或簽字筆作答，符案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應位置上;如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案;不準便用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答的答案無效。

4.考生必須保持答題爺?shù)恼麧?。考試結束后，將試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題: 本大題共 8 小題, 每小題 5 分, 共 40 分. 在每小題給出的四個選項中, 只有 一項是符合題目要求的
1. 已知集合 , 則
A.
B.
C.
D.
2. 已知 , 則
A.
B.
C. 0
D. 1
3. 已知向量 . 若 , 則
A.
B.
C.
D.
4. 設函數(shù) 在區(qū)間 單調(diào)遞減, 則 的取值范圍是
A.
B.
C.
D.
5. 設橢圓 的離心率分別為 . 若 , 則
A.
B.
C.
D.
6. 過點 與圓 相切的兩條直線的夾角為 , 則
A. 1
B.
C.
D.
7. 記 為數(shù)列 的前 項和, 設甲: 為等差數(shù)列; 乙: 為等差數(shù)列, 則
A. 甲是乙的充分條件但不是必要條件
B. 甲是乙的必要條件但不是充分條件
C. 甲是乙的充要條件
D. 甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件
8. 已知 , 則
A.
B.
C.
D.

二、選擇題: 本題共 4 小題, 每小題 5 分, 共 20 分. 在每小題給出的選項中, 有多項符合 題目要求. 全部選對的得 5 分, 部分選對的得 2 分, 有選錯的得 0 分
9. 有一組樣本數(shù)據(jù) , 其中 是最小值, 是最大值, 則
A. 的平均數(shù)等于 的平均數(shù)
B. 的中位數(shù)等于 的中位數(shù)
C. 的標準差不小于 的標準差
D. 的極差不大于 的極差
10. 噪聲污染問題越來越受到重視, 用聲壓級來度量聲音的強弱, 定義聲壓級 , 其中常數(shù) 是聽覺下限闌值, 是實際聲壓. 下表為不同聲源 的聲壓級:

已知在距離燃油汽車、混合動力汽車、電動汽車 處測得實際聲壓分別為 , 則
A.
B.
C.
D.
11. 已知函數(shù) 的定義域為 , 則
A.
B.
C. 是偶函數(shù)
D. 為 的極小值點
12. 下列物體中, 能夠被整體放入核長為 1 (単位: ) 的正方體容器 (容器壁厚度忽略不 計)內(nèi)的有
A. 直徑為 的球體
B. 所有棱長均為 的四面體
C. 底面直徑為 , 高為 的圓柱體
D. 底面直徑為 , 高為 的圓柱體
三、填空題: 本大題共 4 小題, 每小題 5 分, 共 20 分.
13. 某學校開設了 4 門體育類選修課和 4 門藝術類選修課, 學生需從這 8 門課中選修 2 門或 3 門課, 并且每類選修課至少選修 1 門, 則不同的選課方案共有 種            (用數(shù)字作答).

14. 在正四棱臺 中, , 則該棱臺的體積為            

15. 已知函數(shù) 在區(qū)間 有且僅有 3 個零點, 則 的取值范圍是            

16. 已知雙曲線 的左、右焦點分別為 . 點 在 上. 點 在 軸上, , 則 的離心率為          

四、解答題: 本大題共 6 小題, 共 70 分. 解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟.
17. 已知在 中, .
(1) 求 ;
（2）設 , 求 邊上的高.
18. 如圖, 在正四棱杜 中, . 點 分別在棱 上, , .
(1) 證明: ;
（2） 點 在棱 上, 當二面角 為 時, 求.

19. 已知函數(shù) .
(1) 討論 的単調(diào)性;
（2）證明: 當 時, .

20. 設等差數(shù)列 的公差為 , 且 , 令 , 記 分別為數(shù)列 , 的前 項和.
(1) 若 , 求 的通項公式;
( 2 ) 若 為等差數(shù)列, 且 , 求 .

21. 甲乙兩人投籃, 每次由其中一人投籃, 規(guī)則如下: 若命中則此人繼續(xù)投籃, 若末命中則 換為對方投籃. 無論之前投籃情況如何, 甲每次投籃的命中率均為 0.6 , 乙每次投籃的 命中率均為 0.8 , 由抽簽決定第一次投籃的人選, 第一次投籃的人是甲, 乙的概率各為 0.5 .
( 1 ) 求第 2 次投籃的人是乙的概率;
( 2 ) 求第 次投籃的人是甲的概率;
( 3 ) 已知: 若隨機變量 服從兩點分布, 且 , 則 , 記前 次 (即從第 1 次到第 次投籃) 中甲 投籃的次數(shù)為 , 求 .

22. 在直角坐標系 中, 點 到 軸的距離等于點 到點 的距離, 記動點 的軌跡為 .
(1) 求 的方程;
( 2 ) 已知矩形 有三個頂點在 上, 證明: 矩形 的周長大于 .