2023年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（全國甲卷）

理科數(shù)學(xué)

一、選擇題

1. 設(shè)集合，U為整數(shù)集，（    ）

A.  B.

C  D.

2. 若復(fù)數(shù)，則（    ）

A. -1 B. 0          · C. 1 D. 2

3. 執(zhí)行下面的程序框遇，輸出的（    ）

A. 21 B. 34 C. 55 D. 89

4. 向量，且，則（    ）

A  B.  C.  D.

5. 已知正項等比數(shù)列中，為前n項和，，則（    ）

A. 7 B. 9 C. 15 D. 30

6. 有60人報名足球俱樂部，60人報名乒乓球俱樂部，70人報名足球或乒乓球俱樂部，若已知某人報足球俱樂部，則其報乒乓球俱樂部的概率為（    ）

A. 0.8 B. 0.4 C. 0.2 D. 0.1

7. “”是“”的（    ）

A. 充分條件但不是必要條件 B. 必要條件但不是充分條件

C. 充要條件 D. 既不是充分條件也不是必要條件

8. 已知雙曲線的離心率為，其中一條漸近線與圓交于A，B兩點，則（    ）

A.  B.  C.  D.

9. 有五名志愿者參加社區(qū)服務(wù)，共服務(wù)星期六、星期天兩天，每天從中任選兩人參加服務(wù)，則恰有1人連續(xù)參加兩天服務(wù)選擇種數(shù)為（    ）

A. 120 B. 60 C. 40 D. 30

10. 已知為函數(shù)向左平移個單位所得函數(shù)，則與的交點個數(shù)為（    ）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

11. 在四棱錐中，底面為正方形，，則的面積為（    ）

A.  B.  C.  D.

12. 己知橢圓，兩個焦點，O為原點，P為橢圓上一點，，則（    ）

A.  B.  C.  D.

二、填空題

13. 若為偶函數(shù)，則________．

14. 設(shè)x，y滿足約束條件，設(shè)，則z的最大值為____________．

15. 在正方體中，E，F(xiàn)分別為CD，的中點，則以EF為直徑的球面與正方體每條棱的交點總數(shù)為____________．

16. 在中，，，D為BC上一點，AD為的平分線，則_________．

三、解答題

17. 已知數(shù)列中，，設(shè)為前n項和，．

（1）求的通項公式；

（2）求數(shù)列的前n項和．

18. 在三棱柱中，，底面ABC，，到平面的距離為1．

（1）求證：；

（2）若直線與距離為2，求與平面所成角的正弦值．

19. 為探究某藥物對小鼠的生長抑制作用，將40只小鼠均分為兩組，分別為對照組（不加藥物）和實驗組（加藥物）．

（1）設(shè)其中兩只小鼠中對照組小鼠數(shù)目為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；

（2）測得40只小鼠體重如下（單位：g）：（已按從小到大排好）

對照組：17.3  18.4  20.1  20.4  21.5  23.2  24.6  24.8  25.0  25.4

26.1  26.3  26.4  26.5  26.8  27.0  27.4  27.5  27.6  28.3

實驗組：5.4   6.6   6.8    6.9  7.8   8.2   9.4  10.0  10.4  11.2

14.4  17.3  19.2  20.2  23.6  23.8  24.5  25.1  25.2  26.0

（i）求40只小鼠體重的中位數(shù)m，并完成下面2×2列聯(lián)表：

（ii）根據(jù)2×2列聯(lián)表，能否有95%的把握認(rèn)為藥物對小鼠生長有抑制作用．

參考數(shù)據(jù)：

20. 已知直線與拋物線交于兩點，且．

（1）求；

（2）設(shè)C的焦點為F，M，N為C上兩點，，求面積的最小值．

21. 已知

（1）若，討論的單調(diào)性；

（2）若恒成立，求a的取值范圍．

四、選做題

22. 已知，直線（t為參數(shù)），為傾斜角，l與x軸，y軸正半軸交于A，B兩點，．

（1）求的值；

（2）以原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，求l的極坐標(biāo)方程．

23. 已知．

（1）求不等式的解集；

（2）若曲線與軸所圍成的圖形的面積為2，求．

2023年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（全國甲卷）

理科數(shù)學(xué)

一、選擇題

【1題答案】

【答案】A

【2題答案】

【答案】C

【3題答案】

【答案】B

【4題答案】

【答案】D

【5題答案】

【答案】C

【6題答案】

【答案】A

【7題答案】

【答案】B

【8題答案】

【答案】D

【9題答案】

【答案】B

【10題答案】

【答案】C

【11題答案】

【答案】C

【12題答案】

【答案】B

二、填空題

【13題答案】

【答案】2

【14題答案】

【答案】15

【15題答案】

【答案】12

【16題答案】

【答案】

三、解答題

【17題答案】

【答案】（1）   

（2）

【18題答案】

【答案】（1）證明見解析   

（2）

【19題答案】

【答案】（1）分布列見解析，   

（2）（i）；列聯(lián)表見解析，（ii）能

【20題答案】

【答案】（1）   

（2）

【21題答案】

【答案】（1）答案見解析.   

（2）

四、選做題

【22題答案】

【答案】（1）   

（2）

【23題答案】

【答案】（1）   

（2）