2023年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（全國(guó)甲卷）

文科數(shù)學(xué)

注意事項(xiàng)：

1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上.

2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.

如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無(wú)效.

3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.

1. 設(shè)全集，集合，則（    ）

A.  B.  C.  D.

2 （    ）

A.  B. 1 C.  D.

3 已知向量，則（    ）

A.  B.  C.  D.

4. 某校文藝部有4名學(xué)生，其中高一、高二年級(jí)各2名．從這4名學(xué)生中隨機(jī)選2名組織校文藝匯演，則這2名學(xué)生來(lái)自不同年級(jí)的概率為（    ）

A.  B.  C.  D.

5. 記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和．若，則（    ）

A. 25 B. 22 C. 20 D. 15

6. 執(zhí)行下邊的程序框圖，則輸出的（    ）

A. 21 B. 34 C. 55 D. 89

7. 設(shè)為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)在上，若，則（    ）

A. 1 B. 2 C. 4 D. 5

8. 曲線在點(diǎn)處的切線方程為（    ）

A.  B.  C.  D.

9. 已知雙曲線的離心率為，其中一條漸近線與圓交于A，B兩點(diǎn)，則（    ）

A.  B.  C.  D.

10. 在三棱錐中，是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，，則該棱錐的體積為（    ）

A. 1 B.  C. 2 D. 3

11 已知函數(shù)．記，則（    ）

A.  B.  C.  D.

12. 函數(shù)的圖象由的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到，則的圖象與直線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為（    ）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.

13. 記為等比數(shù)列的前項(xiàng)和．若，則的公比為________．

14. 若為偶函數(shù)，則________．

15. 若x，y滿足約束條件，則的最大值為________．

16. 在正方體中，為的中點(diǎn)，若該正方體的棱與球的球面有公共點(diǎn)，則球的半徑的取值范圍是________．

三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.第17~21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.

（一）必考題：共60分.

17. 記的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知．

（1）求；

（2）若，求面積．

18. 如圖，在三棱柱中，平面．

（1）證明：平面平面；

（2）設(shè)，求四棱錐的高．

19. 一項(xiàng)試驗(yàn)旨在研究臭氧效應(yīng)，試驗(yàn)方案如下：選40只小白鼠，隨機(jī)地將其中20只分配到試驗(yàn)組，另外20只分配到對(duì)照組，試驗(yàn)組的小白鼠飼養(yǎng)在高濃度臭氧環(huán)境，對(duì)照組的小白鼠飼養(yǎng)在正常環(huán)境，一段時(shí)間后統(tǒng)計(jì)每只小白鼠體重的增加量（單位：g）．試驗(yàn)結(jié)果如下：

對(duì)照組的小白鼠體重的增加量從小到大排序?yàn)?/p>

15.2  18.8  20.2  21.3  22.5  23.2  25.8  26.5  27.5  30.1

32.6  34.3  34.8  35.6  35.6  35.8  36.2  37.3  40.5  43.2

試驗(yàn)組的小白鼠體重的增加量從小到大排序?yàn)?/p>

7.8  9.2  11.4  12.4  13.2  15.5  16.5  18.0  18.8  19.2

19.8  20.2  21.6  22.8  23.6  23.9  25.1  28.2  32.3  36.5

（1）計(jì)算試驗(yàn)組的樣本平均數(shù)；

（2）（?。┣?0只小白鼠體重的增加量的中位數(shù)m，再分別統(tǒng)計(jì)兩樣本中小于m與不小于m的數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)，完成如下列聯(lián)表

（ⅱ）根據(jù)（i）中的列聯(lián)表，能否有95%的把握認(rèn)為小白鼠在高濃度臭氧環(huán)境中與在正常環(huán)境中體重的增加量有差異？

附：，

20. 已知函數(shù)．

（1）當(dāng)時(shí)，討論的單調(diào)性；

（2）若，求的取值范圍．

21. 已知直線與拋物線交于兩點(diǎn)，．

（1）求；

（2）設(shè)為的焦點(diǎn)，為上兩點(diǎn)，且，求面積的最小值．

（二）選考題：共10分.請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答.如果多做，則按所做的第一題計(jì)分.

[選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]（10分）

22. 已知點(diǎn)，直線（為參數(shù)），為傾斜角，與軸正半軸、軸正半軸分別交于，且．

（1）求；

（2）以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，求的極坐標(biāo)方程．

[選修4-5：不等式選講]（10分）

23. 已知．

（1）求不等式的解集；

（2）若曲線與軸所圍成的圖形的面積為2，求．

2023年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（全國(guó)甲卷）

文科數(shù)學(xué)

注意事項(xiàng)：

1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上.

2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.

如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無(wú)效.

3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.

【1題答案】

【答案】A

【2題答案】

【答案】C

【3題答案】

【答案】B

【4題答案】

【答案】D

【5題答案】

【答案】C

【6題答案】

【答案】B

【7題答案】

【答案】B

【8題答案】

【答案】C

【9題答案】

【答案】D

【10題答案】

【答案】A

【11題答案】

【答案】A

【12題答案】

【答案】C

二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.

【13題答案】

【答案】

【14題答案】

【答案】2

【15題答案】

【答案】15

【16題答案】

【答案】

三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.第17~21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.

（一）必考題：共60分.

【17題答案】

【答案】（1）   

（2）

【18題答案】

【答案】（1）證明見(jiàn)解析   

（2）

【19題答案】

【答案】（1）   

（2）（i）；列聯(lián)表見(jiàn)解析，（ii）能

【20題答案】

【答案】（1）在上單調(diào)遞減   

（2）

【21題答案】

【答案】（1）   

（2）

（二）選考題：共10分.請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答.如果多做，則按所做的第一題計(jì)分.

[選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]（10分）

【22題答案】

【答案】（1）   

（2）

[選修4-5：不等式選講]（10分）

【23題答案】

【答案】（1）   

（2）