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相似矩陣的行列式是否相等

2022-01-18 15:15:58文/李傲

相似矩陣的行列式相等。相似矩陣有相同的特征值、特征行列式，行列式也是相等的。另外，兩矩陣的跡、秩，都是相等的。設(shè)A，B都是n階矩陣，若存在可逆矩陣P，使P^(-1)AP=B，則稱B是A的相似矩陣，并稱矩陣A與B相似，記為A~B。對進(jìn)行運(yùn)算稱為對進(jìn)行相似變換，稱可逆矩陣為相似變換矩陣。

相似矩陣的行列式是否相等

若n階矩陣A有n個(gè)相異的特征值，則A與對角矩陣相似。對于n階方陣A，若存在可逆矩陣P，使其為對角陣，則稱方陣A可對角化。

n階矩陣A可對角化的充要條件是對應(yīng)于A的每個(gè)特征值的線性無關(guān)的特征向量的個(gè)數(shù)恰好等于該特征值的重?cái)?shù)，即設(shè)是矩陣A的重特征值。

定理的證明過程實(shí)際上已經(jīng)給出了把方陣對角化的方法。

若矩陣可對角化，則可按下列步驟來實(shí)現(xiàn)：

求出全部的特征值；

對每一個(gè)特征值，設(shè)其重?cái)?shù)為k，則對應(yīng)齊次方程組的基礎(chǔ)解系由k個(gè)向量構(gòu)成，即為對應(yīng)的線性無關(guān)的特征向量；

上面求出的特征向量恰好為矩陣的各個(gè)線性無關(guān)的特征向量。

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