R(A)=n，即A可逆，$A^{*}A=E$，秩為n。R(A)=n-1時(shí)，則至少有一個(gè)n-1代數(shù)余子式不為0，即秩≥1。又由線性方程組理論矩陣A和其伴隨矩陣秩的和≤n，可得秩為1。R(A)＜n-1時(shí)，n-1代數(shù)余子式全為0，即伴隨矩陣為零矩陣。

行列式的值與把矢量寫(xiě)成列向量橫排還是行向量豎排的方式是無(wú)關(guān)的。這也就是為什么說(shuō)，在計(jì)算行列式時(shí)，行和列的地位是對(duì)等的。

并且注意到，由上述分析，交換矢量的順序，面積的值取負(fù)號(hào)，這也就是為什么行列式中，交換列向量或者行向量一次，就要取一次負(fù)號(hào)的原因。

另外，行列式的其他計(jì)算性質(zhì)，都一一反映在面積映射的線性性之中。由此我們可見(jiàn)，行列式就是關(guān)于“面積”的推廣。他就是在給定一組基下，N個(gè)向量張成的一個(gè)N維廣義四邊形的體積。這就是行列式的本質(zhì)含義。

設(shè)A是n階矩陣，若r（A）=n，則稱A為滿秩矩陣。但滿秩不局限于n階矩陣。若矩陣秩等于行數(shù)，稱為行滿秩若矩陣秩等于列數(shù)，稱為列滿秩。既是行滿秩又是列滿秩則為n階矩陣即n階方陣。