數(shù)列求和常見(jiàn)的方法有公式法、錯(cuò)位相減法、倒序相加法、分組法、裂項(xiàng)法、數(shù)學(xué)歸納法、通項(xiàng)化歸、并項(xiàng)求和。

數(shù)列求和的七種方法

公式法

公式法，顧名思義就是通過(guò)等差、等比數(shù)列或者其他常見(jiàn)的數(shù)列的求和公式進(jìn)行求解。

倒序相加

如果一個(gè)數(shù)列{an}，與首末兩端等“距離”的兩項(xiàng)和相等或者等于同一個(gè)常數(shù)，則求該數(shù)列的前n項(xiàng)和即可用倒序相加法。例如等差數(shù)列的求和公式，就可以用該方法進(jìn)行證明。

錯(cuò)位相減

形如An=Bn?Cn，其中{Bn}為等差數(shù)列，首項(xiàng)為b1，公差為d；{Cn}為等比數(shù)列，首項(xiàng)為c1，公比為q。對(duì)數(shù)列{An}進(jìn)行求和，首先列出Sn，記為①式；再把①式中所有項(xiàng)同乘等比數(shù)列{Cn}的公比q，即得q?Sn，記為②式；然后①②兩式錯(cuò)開(kāi)一位作差，從而得到{An}的前n項(xiàng)和。這種數(shù)列求和方式叫做錯(cuò)位相減。

備注：等差數(shù)列的通項(xiàng)常見(jiàn)形式為an =An+B(其中A、B為常數(shù))，等比數(shù)列通項(xiàng)常見(jiàn)的形式為a n =Aq n-m (其中A、m為常數(shù))

裂項(xiàng)相消

把數(shù)列的每一項(xiàng)都拆成正負(fù)兩項(xiàng)，使其正負(fù)抵消，只剩下首尾幾項(xiàng)，再進(jìn)行求和，這種數(shù)列求和方式叫做裂項(xiàng)相消。

分組求和

有一類數(shù)列，既不是等差，又不是等比，但若把這個(gè)數(shù)列適當(dāng)?shù)牟痖_(kāi)，就會(huì)分成若個(gè)等差，等比或者其他常見(jiàn)數(shù)列(即可用倒序相加，錯(cuò)位相減或裂項(xiàng)相消求和的數(shù)列)，然后分別求和，之后再進(jìn)行合并即可算出原數(shù)列的前n項(xiàng)和。

周期數(shù)列

一般地，若數(shù)列{an}滿足：存在一個(gè)最小的正整數(shù)T，使得an+T=an對(duì)于一切正整數(shù)n都成立，則數(shù)列{an}稱為周期數(shù)列，其中T叫做數(shù)列{an}的周期，接下來(lái)根據(jù)數(shù)列的周期性進(jìn)行求和。

數(shù)學(xué)歸納法

數(shù)學(xué)歸納法是一種重要的數(shù)學(xué)方法，其對(duì)求數(shù)列通項(xiàng)，求和的歸納猜想證明起到了關(guān)鍵作用。

數(shù)列求和的常用方法

分組求和：把一個(gè)數(shù)列分成幾個(gè)可以直接求和的數(shù)列。

拆項(xiàng)相消：有時(shí)把一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式分成兩項(xiàng)差的形式，相加過(guò)程消去中間項(xiàng)，只剩有限項(xiàng)再求和。

錯(cuò)位相減：適用于一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列對(duì)應(yīng)項(xiàng)相乘構(gòu)成的數(shù)列求和。

倒序相加：例如，等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)。