數(shù)列有極限，即當(dāng)n趨向無窮大時(shí)，數(shù)列的項(xiàng)Xn無限趨近于或等于a，任意取一個(gè)值ε，是表明無論ε是多小的數(shù)，Xn與a的差總小于ε，就是Xn無限趨近于或等于a。

數(shù)列極限的定義

數(shù)列極限用通俗的語言來說就是：對于數(shù)列an，如果它的極限是a，那么，不管給出多小的正數(shù)ε，總能找到正整數(shù)N，只要數(shù)列的下標(biāo)n>N，就能保證|an-a|<ε。

比如對于這樣一個(gè)數(shù)列

an=n（當(dāng)n《100時(shí)） 或an=1/n (當(dāng)n>100時(shí)）

這個(gè)數(shù)列的極限是0。當(dāng)對于任意給定的正數(shù)比如1/3，數(shù)列下標(biāo)在1~100時(shí)，|an|>ε=1/3，但只要n>N=100，后面的所有項(xiàng)都滿足|an|<1/3

從這個(gè)意義來說，數(shù)列有沒有極限，前面的有限項(xiàng)（不管這有限項(xiàng)有多大）不起決定作用。

數(shù)列極限的性質(zhì)

（1）極限的唯一性

如果數(shù)列{xn}收斂，那么數(shù)列的極限唯一。

（2）收斂數(shù)列的有界性

如果數(shù)列{xn}收斂，那么數(shù)列一定有界。

（3）收斂數(shù)列的保號性

若數(shù)列{xn}收斂于a，且a>0, 則存在正整數(shù)N，使得當(dāng)時(shí)n>N時(shí)，有xn>0。

以上性質(zhì)中，極限的唯一性和有界性了解即可；極限的保號性用的是最多的,它常與求遞推數(shù)列的極限、函數(shù)的極值點(diǎn)與拐點(diǎn)、連續(xù)函數(shù)的零點(diǎn)定理等一起應(yīng)用，也是最容易出錯(cuò)的。